神経衰弱をノーミスでクリアする確率

質問

ジョーカー2枚を含めた54枚のトランプを使い、一人で神経衰弱をします。

一度も間違えず終わる確率はどれくらいでしょうか？
どんな計算をすればいいのか、答えはどうなるのか、教えて下さい。

回答No.9

kumipapa

#6です。
#7,8さん、面白い結果をありがとうございました。ちょっと不思議な感じもしますが、確かにその通り。ちゃんと整理して考えればジョーカーをワイルドカードにしてもきれいに求まるのですね。

回答No.8

tarame

No.7 です。
(27!×12^13×106)/(54!)＝(26!×12^13)/(52!) となりますね！
これって、ジョーカーを入れないときの確率と同じですね？？？？

回答No.7

tarame

よし、ジョーカーがどのカードともペアになる場合に挑戦！！
(1)ジョーカー同士でペアになるとき
　カードの順番も区別して、全体で　54！通り
　４枚のカードを２枚ずつの２組に分ける場合の数は、３通り
　　２枚ずつの順序も考慮すると　3×2×2＝12通り
　２枚のジョーカーの順序を考慮して　2通り
　よって、同じ数２枚ずつの２７組に分ける場合の数は　12^13×2 通り
　その27組を並べる方法は、27！通りあるから
　求める確率は、(27!×12^13×2)/(54!)
(2)ジョーカーが他のカードとペアになるとき
　ジョーカーとペアになるカードは、4Ｐ2×13＝12×13通り
　　２枚ずつの順序も考慮すると　12×13×2×2＝48×13通り
　　そのカードと同じ数の２枚は順序を考慮して　2通り
　残り48枚は４枚ずつのカードだから　その組は　12^12通り
　求める確率は、　　　(27!×48×13×2×12^12)/(54!)＝(27!×12^13×104)/(54!)
ゆえに、(1)(2)より
　(27!×12^13×106)/(54!) かな？

回答No.6

kumipapa

ジョーカーをワイルドカードとして使えるとすると、どうも収拾がつかなくなりそうなので、ジョーカー同士でないとダメということにさせてください。

4枚残っている数字がn組、2枚残っている数字がm組あるときに、ノーミスで成功する確率をP(n,m)とします。最終的に求めるのはP(13,1)ですが、少ないカードでちょっと計算してみます。例えば、Aが4枚、２が4枚、ジョーカーが2枚の計10枚でP(2,1)を計算してみます。
最初の１枚は、（A or ２）かジョーカーかで場合分けします。
2枚目は、１枚目がA or ２ならそれと同じ数字のカード、１枚目がジョーカーならジョーカーのみで成功。
２枚をめくった時点で残るのは、4枚×１組＋２枚×２組か、４枚×２組のいずれか。
というように場合分けしながら考えると、
P(2,1) = (8/10)×(3/9)×P(1,2) ＋　(2/10)×(1/9)×P(2,0)
ここで、
P(0,1) = 1
P(1,0) = 1
P(0,2) = (4/4)×(1/3)×P(0,1) = 1/3
P(0,3) = (6/6)×(1/5)×P(0,2) = 1/15
P(1,1) = (4/6)×(3/5)×P(0,2) ＋ (2/6)×(1/5)×P(1,0) = 1/5
P(1,2) = (4/8)×(3/7)×P(0,3) ＋ (4/8)×(1/7)×P(1,1) = 1/35
P(2,0) = (8/8)×(3/7)×P(1,1) = 3/35
より、
P(2,1) = 1/105
となりました。こういう感じで
P(n,m) = (4n/(4n+2m))×(3/(4n+2m-1))×P(n-1,m+1)＋(2m/(4n+2n))×(1/(4n+2m+1))×P(n,m-1)
をP(13,1)について解けば良いかなーと思ったのですが、どうも私の頭ではサッと答えが出そうもないので方向転換。

考え方をカードを一列に並べる場合の数を数える方法に切り替える事にします。
同じ数字のカードは区別しないことにして、やはり、Aが4枚、２が4枚、ジョーカーが2枚の計10枚で試してみると・・・
全てのカードの並べ方は、10! /(4! 4! 2!) = 3150 通り
カードを2枚づつの組にしてAが２組、２が２組、ジョーカーが１組の計５組を並べる並べ方は（Ａの２組は区別しない、２の２組も区別しない）、5! / (2! 2!) としてもよいし、5Ｃ2×3Ｃ2と考えてもよく、とにかく30通り。
ノーミスで成功する確率は30 / 3150 = 1/105 となり、先に求めたP(2,1)と同じ。という具合で、この考え方で良さそう。

そこで、４枚×１３種＋ジョーカー２枚のカードで計算すると、

54枚全ての並べ方　54! / ( ((4!)^13) ×2 !)
２枚一組にして、それを並べる並べ方　27! / ((2!)^13)

ノーミスで成功する確率　＝（27! / 54!) ×(4^13)×(3^13)×2 = （27! / 54!) ×(2^27)×(3^13)

ではないかと思います。エクセルでざっと計算させるとおよそ１×10^(-29)となりました。

以上、同じ数字の４枚のカードは区別しないと考えて計算してみましたが、それを全て区別して考える場合は、・・・

全てのカードの並べ方　　54!

ノーミスで成功する場合の数は、２枚一組と考え、２７組のペアの並べ方を考えます。ただし、全てのカードの並べ方を54!としましたが、この中では、２枚一組としても、一組のなかの２枚のカードの並び方（めくられる順番）が区別されて数えられています。ですから、例えばＡの４枚を２枚ずつペアにする組み合わせは、（ハートとダイヤ、スペードとクラブ）、（ハートとスペード、ダイヤとクラブ）、（ハートとクラブ、ダイヤとスペード）の３通りが考えられますが、ハートとダイヤをペアにして考えた場合にはハート⇒ダイヤの順でめくられる場合と、ダイヤ⇒ハートの順でめくられる場合とを区別して、２７組のペアに対してそれぞれ2通りのめくられる順を考慮する必要があります。すると、

２枚組でめくられる場合の数 27! ×(3^13)×(2^27)

ですので、ノーミスで成功する確率は （27! / 54!) ×(2^27)×(3^13)　となります。
これが正解であるなら、最初の式
P(n,m) = P(4n/(4n+2m))×(3/(4n+2m-1))×P(n-1,m+1)＋(2m/(4n+2n))×(1/(4n+2m+1))×P(n,m-1)
というもの、（27! / 54!) ×(2^27)×(3^13)を参考にしてうまくまとめられると思うのですが、やってません。

回答No.5

Hayabusa_K

神経衰弱でジョーカーを入れるということは，#2～#3さんがおっしゃっているようなジョーカーはどのカードともペアになるということですか？それですと，2枚のジョーカーのペアが同じ数字とのペアになってるか，ジョーカーどうしのペアでないと，最後に，ジョーカーのペアで使ってしまったカードが残ってしまうと思うのですが・・・・この場合は最後にカードが残ってしまわないで，かつミスをしない確率ということなのでとても複雑になってしまうと思います．

それともジョーカーはそのペアのみでということですか？この場合でしたらたぶん計算できますので，以下に考え方と計算結果を書きます．違っていましたら申し訳ありません．

まず，それぞれの数字でペアを分けて何通りあるかを考え，できた27組のペアをどの順で引くかを考えます．そして全体で何通りあるかを考えて割ってやればいいと思います．つまり，54枚のカードを順に引いたときに，それがペアで並んでいる確率を考えます．

(1) 同じ数字で4枚のカードを二組に分けるので，3通り．それが1から13まであるので3^13通り．
(2) (1)でできた26組のペアにジョーカーを足して27組．これを順に並べるので27P27=27!．
(3) よってミスなしでクリアは27！×(3^13)通り．
(4) 全体は54枚を順に並べるので54P54=54!
(5) 従って答えは27!×(3^13)/54!です．

計算したら，1/2334449542958352286823070484156907520000000で約4.28366*10^-43です．

途中の考え方が間違っているかもしれませんのであくまで参考意見ということでお願いします．

回答No.4

noname#181872

改めて考え直したところ、そんなに複雑でもなさそうでした。

1)奇数回目にそのときはじめてみる数字のカードを引いた場合、
次の回で引いてよいカードの枚数は3枚、
2)奇数回目に既に1組ペアができている数字のカード及びジョーカーを引いた場合、
次の回で引いてよいカードの枚数は1枚、

それがどういう順番でくるかは分からないけど、1)が13回、2)が14回
くるのだから、
(1/53)×(1/51)×…(1/3)×3^13
という感じでしょうか。
自信はないけど。

回答No.3

noname#181872

#2です。

すみません、

> 2枚目はジョーカーでなければ

これは1枚目に引いたカードがジョーカーでなければということです。
以下も4枚目は3枚目に引いたカードが…という感じです。

回答No.2

noname#181872

これ、計算できるのかな？と思っているのですが。

#1さんの言うように、1枚目はどれでもいいのですが、
2枚目はジョーカーでなければ3/53ではないでしょうか？
（ジョーカーなら1/53）。
さらに3枚目はどれでもいいとして
4枚目はジョーカーか1枚目と同じ数字なら1/51、
そうでなければ3/51。

そう考えると、トランプが28枚（ジョーカー含めてペアは1組）
なら簡単ですが、同じ数字が4枚+ジョーカーは2枚だと
複雑になりすぎて計算できるのかな？と思います。

回答No.1

ymmasayan

まず１枚目はどれでもいいですね・・１．０
２枚目は５３枚中から１枚的中・・1/53
３枚目はどれでも良い・・１．０
４枚目は５１枚中から１枚的中・・1/51

この繰り返しで全部掛け算すればいいですね。