対数関数の導関数

質問

対数関数の導関数を導出する過程で、教科書に、
e=lim[k→0](1+k)^1/k
loga(e)= lim[k→0]loga(1+k)^1/k
という変形がありました。しかし、
e=lim[k→0](1+k)^1/k
loga(e)= logalim[k→0](1+k)^1/k
とは、ならないのですか。単純に両辺の先頭にlogaをつければいいのではと思ってしまいました。

高校生向けの、ご教授をよろしくお願いします。

回答No.2

alice_44

なります。
そして、貴方の式を経由して、教科書の式が導かれるのです。

log を定義するときに、連続性を仮定しているので、
loga lim[k→0] (1+k)^1/k = lim[k→0] loga (1+k)^1/k
が成り立つからです。

一般に、
lim[x→0] g(x) = c が収束して、
f(y) が y = c で連続であれば、
f( lim[x→0] g(x) ) = lim[x→0] f( g(x) )
が成り立ちます。

お礼

いつもお世話になります。
loga lim[k→0] (1+k)^1/k = lim[k→0] loga (1+k)^1/k
のことを知りませんでしたが、理解出来ました。
ありがとうございました。

回答No.1

info22_

>loga(e)= log[a]lim[k→0](1+k)^(1/k)　...(★)
>とは、ならないのですか。

となります。

一方、
>log[a](e)= lim[k→0]log[a](1+k)^(1/k)
も成り立ちます。

教科書の式は(★)の式とは別の公式と考えてください。
たまたま似たような,紛らわしき式となっているだけです。
基本は質問者さんの考え方で良いと思います。

[教科書の式の証明]
右辺=lim[k→0]log[a](1+k)^(1/k(
=lim[k→0] log[a](1+k)/k
=lim[x→0] log[a](1+x)/x
=(1/log[e](a))lim[x→0] log[e](1+x)/x　...(※)
マクローリン展開の公式log[e](1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+…　より
=(1/log[e](a))lim[x→0] 1-x/2+x^2/3-x^3/4+…
=(1/log[e](a))*1
=log[e](e)/log[e](a)
=log[a](e)
=左辺

[証明の別解1]
(※)の式は次式のように変形すれば微分係数の定義式となるので
=(1/log[e](a))lim[x→0] {log[e](1+x)-log[e](1)}/x
=(1/log[e](a)) d/dx(log[e](1+x)|(x=0)
=(1/log[e](a))(1/(1+x))|(x=0)
=(1/log[e](a))
=log[e](e)/log[e](a)=log[a](e)=左辺

ロピタルの定理を使っても良いのであれば
[証明の別解2]
(※)の式は0/0形なのでロピタルの定理が適用できて
=(1/log[e](a))lim[x→0] (1/(1+x))/1
=(1/log[e](a))=log[e](e)/log[e](a)=log[a](e)=左辺
となります。

お礼

いつもお世話になります。
log[a]lim[k→0](1+k)^(1/k)= lim[k→0]log[a](1+k)^(1/k)
が成り立つことがわかって、すっきりしました。
ありがとうございました。