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質問

双曲線x^2-y^2=1のx＞0の部分をCとする。aを正の定数とし、点p(0,2/a)に最も近いC上の点をQとする。
また、点Ｒ(0,-a)を通る直線が点ＳでCに接している。このとき次の問いに答えよ
(1)点Qの座標および直線ＰＱの傾きをaを用いて表せ
(2)点Ｓの座標およびＲＳの傾きをaを用いて表せ
(3)3点P,Q,Rを通る円の直径をaを用いて表せ

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

乙な問題ですね。こういう典雅な問題を楽しんで解けるようになってください。

Q(p,q), S(u,v)とする。

p^2-q^2=1 (1)

u^2-v^2=1　　　(2)

を適宜使う。

（1）

PQ^2=p^2+(q-2/a)^2=q^2+1+(q-2/a)^2　　　((1)を使う)

=2q^2-4q/a+4/a^2+1

=2(q-1/a)^2+2/a^2+1

これの最小の場合は

q=1/a、(1)に代入してp=√（a^2+1)/a (√は（）にかかる。

Q(√（a^2+1)/a , 1/a) (3)

直線ＰＱの傾きm1=(q-2/a)/p=-1/√（a^2+1) (4)

(2)

S(u,v)におけるCの接線は

ux-vy=1 (これがわからなければ教科書、問題集をしっかり探すこと）

これがR(0,-a)を通ることから

v=1/a

(2)に代入して

u=√（a^2+1)/a

S(√（a^2+1)/a, 1/a)　　　(5)

(3)と(5)は一致、つまりQとSは一致。

直線RSの傾きｍ2＝(v+a)//u=√（a^2+1)　　　(6)

（3）

(4)と(6)より

m1*m2=-1 (2直線の傾きの積が-1のとき2直線は直交、これがわからなければ教科書、問題集をしっかり探すこと)

つまりPQとSR＝QRは直交、したがってPRはPQRを通る円の直径になっている。

その直径=2/a+a