質問です

質問

教えてください！
円ｃの外部の点Aから円Cに引いた二本の接線と、円Cとの接点をP.Qとする。直線PQ上の点で、円Cの外部にある点Bから円Cに引いた二本の接線と、円Cとの接点をR、Sとするとき、直線RSは点Aを通ることを示せ。
よろしくお願いします！

回答No.2

mister_moonlight

＃1のような方針では、計算が大変になる。最後までたどり着けるかどうかわからないよ。。。。ｗ

この問題は、極と極線の応用問題として、よく知られた問題。
点ＡとＢを極と言い、直線：ＰＱとＲＳを極線という。

円Ｃをx＾2＋y＾2＝r＾2　r＞0　とする。Ａ(α、β)として、接点Ｐ(x1、y1)、Ｑ(x2、y2)における接線は各々、x1*x+y1*y＝r＾2、x2*x+y2*y＝r＾2　。
この直線がＡ(α、β)を通るから、α*x1+y1*β＝r＾2、x2*α+y2*β＝r＾2　である。
これは、直線ＰＱの方程式が　α*x+y*β＝r＾2　‥‥(1)　であることを示している。

一方、点Ｂ(m、n)についても同じ事が言えるので、直線：RSの方程式は、m*x+y*n＝r＾2　‥‥(2)である。

又、点Ｂ(m、n)が　直線：(1)の上にあるから、m*α+β*n＝r＾2　である。
これは、直線(2)がＡ(α、β)を通る事を示している。

極と極線の問題は、きっちり理解しないと、だまされたような気持ちになる。
じっくり理解したら良いだろう。

回答No.1

nattocurry

一例です。

円Cの中心を(0,0)、半径をrとする。
点Aの座標を(a,0)とする。
これらから、点P(px,py)、点Q(qx,qy)を求める。
直線PQは、x=px
点Bの座標を(bx,by)とする。
bx=pxなので
点Bは(px,by)
これらから、点R(rx,ry)、点S(sx,sy)を求める。
直線RSの式を求める。
点Aの座標(a,0)を直線RSの式に代入して、式が成り立つことを示す。

途中の計算は面倒だとは思いますが、この流れで解けるでしょうね。
もっとスマートな方法があるかもしれませんが。