複素数

質問

(1)
x=1＋√3iのとき、(x＾4)＋(-2x＾2)＋5x-3の値を求めるとき、
((1＋√3i)＾2)・((1＋√3i)＾2)-(2(1＋√3i)＾2)＋5(1＋√3i)-3と計算すると
答えは4＋√3iになってしまって合ません。

(2)
X=2＋√3i,y=2-√3iのとき、(x＾3)＋(y＾3)の値を求めるとき、
(x＾3)＋(y＾3)=(x＋y)((a＾2)-ab＋(b＾2))
に代入して
(x＋y)=4
((a＾2)-ab＋(b＾2))=15

15×4=60
になってしまって答えがあわないです。
教えてください。

回答No.6

mickel131 · ベストアンサー

（１）の解答はTK0318さんのＮｏ．２の回答が正解です。Ｎ０．５は間違っています。
｛(x＾4)-(2x＾2)＋5x-3｝÷｛ｘ＾２－２ｘ＋４ ｝は商が(x＾2)＋2x-2ですが、
余りは　7x＋5ではなく、－７ｘ＋５　です。
よって、
－２－７√（３）i
が正解です。
「１００％過信は危険ですよ」
これは回答者（私も含めて）についても言えます。
自分で確信が得られるまで計算するしかないかも・・・。この回答には自信ある積もりですけどね。

こんな検算法もあります。
P(x) = x^4-2x^2+5x-3
T(x) = (x^2-2x+4)*(x^2+2x-2)+(-7x+5)
この両方の式に
x = 1　を代入して両辺の値が同じになることを確認。
x = 0 を代入して両辺の値が同じになることを確認。
x = -1 を代入して両辺の値が同じになることを確認。
x = 2 を代入して両辺の値が同じになることを確認。
x = -2を代入して両辺の値が同じになることを確認。
４次式ですから、５つ確認できれば、
P(x) = T(x)
が確認されたことになります。

補足

ありがとうございます。
答えは－２－７√（３）i
なのですか？
私はなんど計算しても余りが7x＋5でした。。

回答No.5

TK0318

＃２です。

下で私も計算間違えましたが計算しなおしてみたところ

｛(x＾4)-(2x＾2)＋5x-3｝÷｛ｘ＾２－２ｘ＋４ ｝は商が(x＾2)＋2x-2で余りが7x＋5となり。

7(1＋√3i)＋5=12＋7√3i

となりました。
ですので回答のほうが間違っていると思われます。
（おそらく17x+5で計算している）
問題集とか回答たまに間違っていますので１００％過信は危険ですよ＾＾；

回答No.4

mickel131

この問題は、「がんばって計算しなさい。」、という問題ではなくて、よく知られている工夫によって「計算を楽にして計算しなさい」という問題です。
「そのうまいやり方を知ってるかな？」という問いです。
闇雲に計算しても間違うことが多いものです。「答えがあわない」のは計算間違いしただけです。

楽に計算する方法は、
（２）では、
（ア）x + y と　xy を先に求める。
（イ）問題の式　(x＾3)＋(y＾3)　を　x + y と　xy だけで表す。
（ウ）アで求めた値をイの式に代入する。
という手順でやります。
イは、次の公式を使います。
(x＾3)＋(y＾3)＝（x + y ）^3 - 3xy（x + y ）
この式は、（x + y ）^3　の展開の公式から作ります。
（x + y ）^3　＝(x＾3)＋3(x^2)y+3x(y^2)+(y＾3)
はご存知でしょう？これは、順序を入れ替え、
（x + y ）^3＝(x＾3)+(y＾3)＋3(x^2)y+3x(y^2)
（x + y ）^3＝(x＾3)+(y＾3)＋3xy（x + y ）
として覚えておきます。3xy（x + y ）を移項して、上の公式が出来ます。

（x - y ）^3　についても同じ変形をすると、
x^3 - y^3 =（x - y ）^3 - 3xy（x - y ）
が作れます。ぜひやってみてください。

（１）は、「商と余りの関係式」の利用です。
７÷３＝２・・・１
このとき、元の７は３と２と１を使って、
７＝３＊２＋１
と表せますね。割り算の答え２を「商」、１を「余り」と呼びますね。残った３と７にも名前を付けましょう。
３は「割る数」と呼ぶから、元の７は「割られる数」と
呼ぶべきですね。
そうすると、
「割られる数」＝「割る数」＊「商」＋「余り」
です。これを「商と余りの関係」と呼びます。
「数」のところを「式」に変えても成り立ちます。
[(1)なのですが　｛(x＾4)-(2x＾2)＋5x-3｝÷｛ｘ＾２－２ｘ＋４ ｝は商が(x＾2)＋4x＋8で余りが29x＋13でした。]
これに当てはめて式を立ててみましょう。
割られる式は、どれです？割る式は？
できた式に　x^2+2x-4　=0
を代入します。すると、割る式×商のところが０になって、計算が簡単になるという仕掛けです。あとは、
余りの式の x に値1＋√3iを代入するだけです。

補足

(2)の問題はわかりました。
ありがとうございます。

(1)なのですが、なんど計算をしても
｛(x＾4)-(2x＾2)＋5x-3｝÷｛ｘ＾２－２ｘ＋４ ｝は商が(x＾2)＋2x-2で余りが7x＋5となり。

7(1＋√3i)＋5=12＋7√3i

となり。
本当の答えは22＋17√3i
なので一致しません。
どこが悪いのでしょうか

回答No.3

noname#24477

計算まちがいしているだけです。
もう一度計算をやり直してみてください。

i^2＝－１　が使いこなせていないですね。

補足の割り算もちがっていませんか？
計算をていねいにやってみてください。

前の方たちの式変形もよく使われます。

回答No.2

TK0318

(1)
こういう問題は初めに
x-1=√3i→(x-1)^2=-3→x^2+2x-4=0
としてで与式で割ると(x^2+2x-4)P+ax+bの形になるので計算が楽になります。

(2)
x+y=4,xy=7とこの２つはすぐに出ます。この２つだけが出るように与式を整理します。この場合は
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)
となり計算が容易になります。

こういう問題ではとにかく整理することです。
ちなみに答えは(1)が-7√3i-2、(2)が-20だと思います。

回答No.1

rindaryu

（１）
x=1＋√3i　なので　ｘ－１＝√３i
両辺を２乗して　ｘ＾２－２ｘ＋１＝－３
ｘ＾２－２ｘ＋４＝０

これで与式を割ってあげて、余りを考えればいいですよね。

（２）
そういう因数分解をするから、わかりにくくなります。
与式＝（ｘ＋ｙ）＾３－３ｘｙ（ｘ＋ｙ）
とすれば、どうでしょうか。

補足

さっそくの返答ありがとうございます。
(1)なのですが(x＾4)-(2x＾2)＋5x-3　　÷　ｘ＾２－２ｘ＋４
は商が(x＾2)＋4x＋8で余りが29x＋13でした。
余りをどうやって利用するのですか？

それから
(2)は
与式=(2√3i)＋(2-√3i))＾3)-3(2＋√3i)・(2-√3i)(2＋√3＋2-√3i)で求めればいいのですか？
すこし複雑のようなかんじがしますが。。