北大の入試問題について

質問

[問題]

「不等式cos2θ + cθ^2>=1がすべての実数θについて成り立つような定数cの値の範囲を求めよ」

--------

[自分が考えて解答]

与式を変形すると、c>= (sinθ/θ)^2 (θ≠0のとき)
θ＝０のときは、１＞＝１より与式は成立。

次に、f(θ) = (sinθ/θ)^2の最大値を求める（θは0では無いとする）

2乗なので、θ>0の範囲で調べれば十分である。lim θ→0のとき、1に収束する。
次に、0 < θ <= π/2で調べれば十分である。なぜなら、π/2 <θの範囲では、
(sin θ)^2の最大値は1であるが、θ^2は増加していくので、f(θ)の最大値は減少していく。

g(π/2)= 2/πより、f(π/2) = 4/π^2 (< 1)

ここで、g(θ) = sinθ/θを考える(0<θ<π/2)

g'(θ) = θcosθ- sinθ/θ^2より、g'(θ) = 0⇔θ=tanθ

これを満たす値をαとする。増減表から、g(θ)の最大値はg(α)だから、
g(α) = cos α < 1より、最大値はlim θ→0の1である。
よって、求めるcの範囲は、c≧2である。

これって何かおかしい部分がありますか？

回答No.1

noname#199771 · ベストアンサー

＞次に、f(θ) = (sinθ/θ)^2の最大値を求める（θは0では無いとする）

最大値が存在するかどうか不明なのでこの表現はマズイです。
たぶん減点されます。
「f(θ) = (sinθ/θ)^2（θ≠0）, 1（θ=0）と置き、ｆの値の範囲を求める。」
くらいがいいです。

＞次に、0 < θ <= π/2で調べれば十分である。なぜなら、π/2 <θ
＞の範囲では、
＞(sin θ)^2の最大値は1であるが、θ^2は増加していくので、f(θ)の
＞最大値は減少していく。

「f(θ)の最大値は減少していく。」が意味不明。
最大値が変化したらおかしいですよね？
とはいえ表現したいことはなんとなくわかります。運が良ければ減点
はされないのかもしれませんが責任は持ちません。

「なぜなら、」以降、

π/2 < θ <= πのとき、0<=π-θ<π/2であって
f(θ)
=((sin(π-θ))/θ)^2
≦((sin(π-θ))/(π-θ))^2

と書いておけば曖昧さがなくなります。

＞g(π/2)= 2/πより、f(π/2) = 4/π^2 (< 1)
＞
＞ここで、g(θ) = sinθ/θを考える(0<θ<π/2)

日本語として文の順番がおかしいです。これも減点はされないかも
しれないけれど、下の文を先に書かないと変です。

＞
＞g'(θ) = θcosθ- sinθ/θ^2より、g'(θ) = 0⇔θ=tanθ
＞
＞これを満たす値をαとする。増減表から、g(θ)の最大値はg(α)だから、

増減表を持ち出すならθ>0のときθ>tanθまで言えますよね？
α（=0）を持ち出すのはクドいです。

＞最大値はlim θ→0の1である。

日本語が変です。減点はされないかもしれませんが。

それと、「lim θ→0のとき、1に収束する。」と「f(π/2) = 4/π^2 (< 1)」
は結局使いません。

↑を参考に、解答を書きなおしてみてください。

お礼

丁寧にありがとう

回答No.2

noname#199771

#1の訂正。

＞増減表を持ち出すならθ>0のときθ>tanθまで言えますよね？

増減表を持ち出すならπ/2>θ>0のときθ<tanθまで言えますよね？

の書き間違いです。失礼しました。