数について教えてください。

質問

自然数の個数は有限個ですか？
また、整数も有限個ですか？

回答No.5

noname#199771 · ベストアンサー

集合Aが無限集合であるとは、「Aとの間に１対１対応をもつ
Aの真部分集合Bが存在する」こととして定義できます。

写像の言葉を使って、
B⊂AかつB≠Aなる集合B、および全単射f:A→Bが存在する
と言ってもいいです。

有限集合の定義は上記の否定、つまり「Aのどんな真部分
集合Bを取っても、AとBとの間に１対１対応が存在しない」
ということになります。

無限ととても大きい有限との違いを直感的に感じる話として、
ヒルベルトの無限ホテル
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
があります。

これが上記の定義を利用していることを読み取ってみてください。

A={自然数全体}
B={2以上の自然数全体}
f:A→Bを、f(n)=n+1
とおくと、B⊂A、B≠Aであり、fは全単射なのでAは無限集合です。

整数全体の場合も同様です。

回答No.8

alice_44

何らかの自然数(自然数の集合の一個の元)
と等濃度であることを「有限」の定義にしてしまっても
いいような気はするが…

回答No.7

housyasei-usagi

1+1=2
2+1=3
3+1=4
4+1=5
5+1=6
　・
　・
1000+1=1001
1001+1=1002
　・
　・
100000000000000+1=100000000000001
100000000000001+1=100000000000002
　・
　・
どこまで行ってもやめられないから無限なんでしょうなぁ。

回答No.4

alice_44

「無限」を定義する(言葉の意味を決める)のは
大学以降の数学ですから、
その質問に初等的に答えようとするならば、
「有限個」の定義を確認することからなんでしょうね。

回答No.3

funoe

私は、大学1年の月曜日の１限目、一般教養過程の「数学（集合論）」で初めて習いました。
　そのときに、「無限」「有限」を同時に学んだんだと思います。

　高校生のとき、「＊＊に限りなく近づくとき、その値を極限値という」って表現でかなり迫った瞬間がありましたが、そのときも「無限に近づく」とは記載していなかったと記憶しています。

　おそらく高校までの課程で「限りなく」は出てきますが、「無限」は出てこないと思います。

回答No.2

birth11

自然数や整数が無限個あるのは無限という言葉を知った時に自然とわかるものだと思います。

回答No.1

noname#189742

両方とも無限です。

お礼

ありがとうございます。
それはいつ頃習う、もしくは知るものなのですか？
私は習った記憶はないのですが・・・。