1/(4x^(2)+7)^(1/2)の積分

質問

1/(4x^(2)+7)^(1/2)を積分せよ。という問題なのですが、答えをみても分かりません。

計算過程を教えて下さい。

宜しくお願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

まず、2x=(√7)t とおく変数変換を考えましょう。

dx/√(4x^2　+7)=((√7)/2)dt/√(7t^2 +7)
=((√7)/(2√7))dt/√(t^2+1)
=(1/2)dt/√(t^2+1)

∫dx/√(4x^2+7)=(1/2)∫dt/√(1+t^2)

あとはいいですね。

高校生なら、u=t+√(t^2 +1)とおいて置換積分すれば良いです。
=(1/2)log(2x+√(4x^2 +7))+C(Cは積分定数)
または
=(1/2)log{x+√(x^2 +(7/4))}+C''(C''は積分定数)
でも良いでしょう。

大学生なら、t=sinh(u)（双曲線関数sinhは高校では習わないため）とおいて置換積分すれば良いです。
=(1/2)u+C=(1/2)sinh^-1(t)+C=(1/2)sinh^-1(2x/√7)+C'(C'は積分定数)

(C'とCは定数分の違いがあるのでC'としましたが、定数分は積分定数に吸収されるので、通常はC'をCとます。同じCでないことを強調するためC'としました。)

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。納得出来ました。

ただ、(1/2)log(2x+√(4x^2 +7))+Cと(1/2)log{x+√(x^2 +(7/4))}+C'は

(1/2)log{x+√(x^2 +(7/4))}+C'
=(1/2)log[x+(√(4x^(2)+7)/4)]+C'
=(1/2)log[1/2(2x+√(4x^(2)+7))]+C'
=(1/2)log(1/2)+(1/2)log[2x+√(4x^(2)+7)]+C'

となり、(1/2)log(1/2)=-(1/2)log2がC'に吸収され

(1/2)log(2x+√(4x^2 +7))+Cになったと解釈していいのでしょうか？

回答No.6

info22_

No.4です。

ANo.4の補足質問の回答

>ただ、(1/2)log(2x+√(4x^2 +7))+Cと(1/2)log{x+√(x^2 +(7/4))}+C'は

>(1/2)log{x+√(x^2 +(7/4))}+C'
>=(1/2)log[x+(√(4(x^2)+7)/4)]+C' ←×

正しくは
=(1/2)log[x+√((4(x^2)+7)/4)]+C'
=(1/2)log[x+(√(4(x^2)+7))/(√4)]+C'
=(1/2)log[x+(√(4(x^2)+7))/2]+C'

>=(1/2)log[(1/2)(2x+√(4(x^2)+7))]+C'
>=(1/2)log(1/2)+(1/2)log[2x+√(4(x^2)+7)]+C'

>となり、(1/2)log(1/2)=-(1/2)log2がC'に吸収され　←×

C'ではなくCに吸収され、すなわち C=C'-(1/2)log2　とおきかえれば

>(1/2)log(2x+√(4x^2 +7))+C

となります。

>になったと解釈していいのでしょうか？

その通りです。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
結構ミスをしてましたね。すみません。

この度は、分かりやすく教えていただきありがとうございました。
問題がきちんと理解出来ました。

また機会がありましたら、宜しくお願いします。

回答No.5

alice_44

2x=(√7)t 以降は、A No.1「お礼」に
質問者自身が書いているね。

A No.3 への反応を待つのが、筋だと思うよ。

お礼

すみません、この回答はA No.4に対してでしょうか？

もし私の回答や他のものに対してでしたら申し訳ありません。

回答No.3

Tacosan

じゃあ, もうちょっと間を入れてみようか.

まず
1/(7x^2+7)^(1/2) = (1/7^(1/2)) (1/(x^2+1)^(1/2))
は積分できるよね?

次.
1/(4x^2+7)^(1/2)
を
1/(7t^2+7)^(1/2)
とするためには, x と t の間にどのような関係があればいいですか?

お礼

返信が遅くなり申し訳ありません。

info22_さんが丁寧な解答を書いて下さいましたが、一応、私なりにも考えてみました。
xとtの関係は

1/(4x^2+7)^(1/2)＝1/(7t^2+7)^(1/2)

となれば良いので、

(2x)^(2)=(√7t)^(2)
2x=√7t
両辺tで微分して
2*dx/dt=√7
dx=[(√7)/2]dt

以下
info22_さんの解答となると考えました。

この度は解答に繋がるようにアドバイスして下さりありがとうございました。
また機会がありましたらよろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan

だったら,
1/(4x^(2)+7)^(1/2)
を変数変換して
1/(x^2+1)^(1/2)
のような形に持っていくことはできますか?

お礼

出来ません。どううまくやればその形になるか思いつきませんでした。

回答No.1

Tacosan

1/(x^2+1)^(1/2) は積分できますか?

お礼

はい。出来ます。
私の記憶では

[(x^(2)+1)^(1/2)]=y(y>0)とおくと
両辺２乗して
x^(2)+1=y^(2)
微分して
2x=2y'y
x=y'y
yを移行して
x/y=y'
両辺１足して
(x+y)/y=y'+1
x+yを移行して
1/y=(y'+1)/(x+y)=(x+y)'/(x+y)であるから

∫1/(x^2+1)^(1/2)dx=∫1/ydx=∫ (x+y)'/(x+y)dx

=log|x+y|+c=log|x+ [(x^(2)+1)^(1/2)] |+c

という風に記憶しています。