群Gの元ａの位数

質問

35歳すぎにして、代数学の初心者です。
代数における群Gの元aの位数の意味がよくわかりません。位数って群の元の数ですよね？ってことは、元aが位数を持つということは、元aも群だということなのでしょうか？元aは群Gの部分群でないと、元aは位数を持たないのでしょうか？
これがわからないので、「群Gの元aの位数がmnならばa^nの位数はmであることを示せ」などといわれても、ちんぷんかんぷんです。
どなたか、判りやすく教えていただける方がいましたら、よろしくお願いいたします。

回答No.10

graphaffine

beni-gombeさん、こんにちは。
#2に誤りがあり、それによりbeni-gombeさんが混乱されたようですので指摘させてもらいます。

#2にあるように、位数と言っても群の位数と元の位数では、対象が違うので当然定義も違います。

定義１　群の位数は群の要素の数。
定義２　群Gが与えられたとき、その元ａの位数とは、
　　ａで生成される巡回部分群の位数。

残念ながら、#2では定義２の最後の位数と言う言葉が抜けていました。
上の書き方では定義２で定義１を利用しています。が、次の書き方では、定義１と独立に元の位数を定義できます。
定義２’元ａの位数とは、ａ＾ｎ＝ｅ（単位元）となる最小の整数。

但し、この場合はこのようなｎが確かに存在することを確かめておく必要があります。

貴兄が言われる群とは有限群だけですか、それとも無限群を含みますか。それにより、若干ｎの存在の確認方法が変わります。

＞また、a^nのnに対する制限はどうなっているのでしょうか？上記の例からは、なんとなく自然数のような気がしますが、実数とかでも可？

ｘを正の実数とすれば、任意の実数ｙに対しｘ＾ｙを定義できます。しかし、この状況を群の場合に当てはめてはいけません。群の場合の指数の範囲は入門書にはちゃんと書かれているはずです。多分整数全体となっていることが多いと思いますが、０以上の整数または自然数となっている場合も有り得ます。