数学の問題

質問

すいません

log（ｎ二乗+１）/log（ｎ三乗-１）でｎを無限大まで飛ばしたらどうなるか、解けません。解説してもらえる方おられませんか？

回答No.2

alice_44

A No.1 さんの言うとおり。
n がとても大きければ、n^2+1 は n^2 みたいなもの、
n^3-1 は n^3 みたいなものだよね…という感覚が、一番大切でしょう。
log(n^2+1)/log(n^3-1) ≒ log(n^2)/log(n^3) = 2/3.

形式上の極限計算としては、
log(n^2+1) = log((n^2+1)n^2/n^2) = log((n^2+1)/n^2) + log(n^2),
log(n^3-1) = log((n^3-1)n^3/n^3) = log((n^3-1)/n^3) + log(n^3)
より、
lim[n→∞]log(n^2+1)/log(n^3-1)
= lim[n→∞]{log((n^2+1)/n^2) + 2log(n)}/{log((n^3-1)/n^3) + 3log(n)}
= {lim[n→∞]log((n^2+1)/n^2)/log(n) + 2}/{lim[n→∞]log((n^3-1)/n^3)/log(n) + 3}
= (0+2)/(0+3).
あたりかな。上記の感覚に、言い訳を付けただけですが。

回答No.1

asuncion

{2log(n)}/{3log(n)}
に収束するはずですので、2/3だと思います。

お礼

ありがとうございます。助かりました！