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力学
SKJAXNの回答
- SKJAXN
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見辛くて申し訳ありませんがテキスト入力のため、関数f[x]の1次微分の表記を(d/dx)f[x]、2次微分の表記を(d2/dx2)f[x]、3次微分の表記を(d3/dx3)f[x]とさせていただきます。 3) 問題に「Δyの1次の項の範囲では、変化しないことを示せ。」という記述があるため、それに従った解答でも良いかと存じます。 No.1さんが仰るとおり、滑車Aから真右へ引いた直線と、接点Bから真上へ引いた直線の交点をDとすると、直角三角形ABDは、AB:BD:DA=5:4:3となりますので、ここでAB間の距離を5*Lとおきます。 また、接点BからΔyだけ鉛直下方へずらした接点をB'とおき、滑車A側の錘がΔzだけ上昇したとすると、直角三角形AB'Dの関係から AB'^2=B'D^2+DA^2 すなわち、 (5*L+Δz)^2=(3*L)^2+(4*L+Δy)^2 これをΔzについて解くと、 Δz=√(25*L^2+8*L*Δy+Δy^2)-5*L →{1} ここでΔy=xとおいて、{1}の右辺をxの関数と見てf[x]とおくと、 f[x]=√(x^2+8*L*x+25*L^2)-5*L →{2} 次に、Δyは微小量であることを考慮し、f[x]をx=0の近傍でxの多項式として展開すると、 f[x]=f[0]+(d/dx)f[0]*x+1/2*(d2/dx2)f[0]*x^2+1/6*(d3/dx3)f[0]*x^3+・・・ これを1次の項の範囲に限定すると、 f[x]=f[0]+(d/dx)f[0]*x →{3} また{2}より、 (d/dx)f[x]=(x+4*L)/√(x^2+8*L*x+25*L^2) →{4} さらに{2}、{4}より、f[0]=0、(d/dx)f[0]=4/5 これらを{3}に代入すると、 f[x]=4/5*x すなわち、Δz=4/5*Δy と求まります。 同じ要領で滑車C側の錘について解くと、Δz'=3/5*Δy と求まります。 以上より、接点BからΔyだけ鉛直下方へずらすと(No.1さんの重力Fをお借りして)、接点B直下の錘の位置エネルギーは 5*F*Δy だけ減少するが、滑車A側の錘の位置エネルギーは 4*F*(4/5*Δy)、滑車C側の錘の位置エネルギーは 3*F*(3/5*Δy) だけ増加するため、Δyの1次の項の範囲では、錘全体の位置エネルギーは変化しません。 いかがでしょう?
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