【数学】 部分群であることを示せという問題。

質問

とても簡単な問題のはずなのですが、いまいちリカイできないところがあるので、
正しい答えを教えてください。

有理整数のアーベル群Ｚの部分集合で、とある固定された整数ｎのすべての倍数の為す部分集合を
nZとかくと、nZはZの部分群となる。これを確認せよ。

というような問題です。

回答No.4

ask-it-aurora · ベストアンサー

<回答No.1補足

てっきり問題をきちんと写してないだけだと思ったのですが…
もし本当に演算が指定されていないならば，それは問題になっている群が定まっていないということです．回答できるわけがありません．ふつう，ある集合に構造が乗っているときは台となっている集合の記号を流用してしまいますが，これは省略記号であって記号の乱用です．だからこの場合は群Zと言われたら，それは正確にはある演算μが既に定まっていて集合と演算の組(Z, μ)のことを省略してZ = (Z, μ)と書いていると思うべきです．

文脈からするにふつうの有理整数上の加法に関してZは群になっているのでnZはその部分群であることを確かめなさい，という問題に見えますが…

## ちなみにアーベル群（あるいは可換群）というのはすべての元x, yについて xy = yx が成り立つ群のことです．加法群と言ったときは（慣習的には？）ある環について積の構造を忘れてしまったときに和に関してできるアーベル群のことを指します．

お礼

↑ごめんなさい。補足にお礼を書いてしまいました。

補足

補足ありがとうございます。
非常に助かりました。

もっと場数を踏んだほうがよさそうですね。
一度教科書を全部終わらせてみようと思います。

本当に助かりました。

回答No.5

alice_44

＞ 加法群ってアーベル群の別の言い方ですよね？

確かに、可換群のことを「加法群」と呼んでしまう
困った人は、プロの数学者にも少なくないようです。
しかし、その「加法群」と、環や体や加群の加法群は、
言葉は同じでも、異なる概念です。
環の加法群が可換であるために、話はややこしいのですが…

問題文に「有理整数のアーベル群」と書いてしまった
出題者は、その辺の理解が曖昧なんだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど。ここはもっと経験値をつむべきでした。
重要なアドバイスありがとうございます。

回答No.3

Tacosan

最初に「有理整数のアーベル群Ｚ」と書いてあるわけだが, この場合の「群」というのはいったいどのような演算にもとづく「群」なんだろうか.

補足

そうですよね。
それわからないとできないんじゃ。と私は考えているのですが。

回答No.2

ask-it-aurora

<回答No.1

ちょっと舌足らずかもしれないと思ったので念の為，補足．証明に関して書くべき内容は最後のふたつだけで十分なのは，明らかにnZ ≠ ∅だから（あるいは 0 ∈ nZだから）です．

回答No.1

ask-it-aurora

とても簡単な問題なので理解を促すために逆に質問を．

・有理整数の加法群Zの演算μ: Z×Z → Zは何ですか？
・その演算に関する単位元は何ですか？
・その演算についてnZは閉じていますか？つまりx, y ∈ nZ に対して μ(x, y) ∈ nZ ですか？
・nZのすべての元に対して逆元はnZの中にありますか？

ちなみに実際の証明に書くべき内容は最後のふたつに関してのみで十分です．

補足

回答ありがとうございます。

疑問に思ったのは最初の演算のところです。
演算が普通の足し算とかだと簡単にリカイできるのですが、何も書いてないのです。
加法群ってのはアーベル群の別の言い方ですよね。

もし演算が普通の足し算で、単位元は０なら全く問題ないと思うのですが、
加法群という情報だけでは、単位元を特定できないと思うのです。

そのせいで、最後の２つの質問に答えるのが難しくてですね。。。

演算について何も情報がなくても、この問題は答えられるはずなのです。

何か大きな勘違いをしていたら申し訳ありません。