剰余群

質問

複素数の集合　C
整数の集合　　Z
とします。
Z/3Zが0,1,2になるのは分かります。
しかし、C/Zを求めなければ解けない問題が出現しました。
このC/Zとはどういう群でどういう意味なのでしょうか。分かる方、お願いいたします

回答No.4

betagamma · ベストアンサー

単純に考えたら、No.1さんと同じ答えになりました。

まず、Z/3Zは、
x = y (mod 3)
となる、x,y∈Zを同一視するということですね。
（より厳密に言えば、x,y∈Zについて、x~y⇔ x = y (mod 3)という二項関係~を定義すると、~が同値関係になるので、Zを~で割った同値類を考えることができる）

そこで、同じように、R/Zを考える。
x = y (mod 1)
となる、x,y∈Rを同一視する。
だから、
3.1 = 1.1 = 0.1 (mod 1)
π = π -1 = π -2 = 0.141592... (mod 1)
まぁ、大雑把に言えば、整数部分を無視すればよいわけです。
式の形でかけば、<x>=<x-[x]>、ただし、[x]はx∈Rの整数部分、ですね。ただし、<x>は、元x∈Rの同値類をあらわします。ですから、元x∈Rの同値類は、x-[x]∈Rの同値類と同じ、という意味です。
気をつけたいのは、Z/3Zの場合は有限になりますが、R/Zは、無限個（厳密には、非可算無限、もっとはっきり言えば、実数濃度）ありますね。

で、C/Zですが、これは、さっきと同じパターンで
x1+x2*i = y1+ y2*i (mod 1)
ですから、例えば、
3.1 + 2i = 0.1 + 2i (mod 1)
π + πi = 0.141592... + πi(mod 1)
です。式でかけば、
<x1+x2*i> = <x1-[x1] + x2*i>
ですね。x1+x2*i∈Cの同値類は、x1-[x1]+x2*iの同値類と同じ、という意味です。

回答No.3

ojisan7

No.2の回答は撤回します。

回答No.2

ojisan7

虚数部分が等しい数を同一視した群です。たとえば、3+5iと7+5iを同一視します。

回答No.1

g354654

C/Zの代表元は、x+yi (0≦x＜1、-∞<y<∞)です。

イメージとしては、複素平面を、クルクルまきつけて、円柱（無限の高さを持つ）にしたものです。