剰余類の問題

質問

剰余類の問題について解説がなく自分の考え方が正しいのか判断できず困っています。

問題は
3の剰余類をC0,C1,C2とするとき
1. a ∈ C0 , b ∈ C1 のとき a + b　はどれに属するか。
2. a ∈ C1 , b ∈ C2 のとき a + b　はどれに属するか。
です。

以下自分の解答↓
C0 は整数を 3 で割った時、あまりが 0 になる整数の集合
C1 は整数を 3 で割った時、あまりが 1 になる整数の集合
C2 は整数を 3 で割った時、あまりが 2 になる整数の集合
なので、n を整数とすると、
C0 = { 3n }
C1 = { 3n + 1 }
C2 = { 3n + 2 }
となる。
よって

1のときは
a = 3n , b = 3n + 1 とし
a + b = (3n) + (3n + 1) = 6n + 1 = 3(2n) + 1
nは整数なので2nも整数である。よってa + b ∈ C1

2のときは
a = 3n + 1 , b = 3n + 2 とし
a + b = (3n + 1) + (3n + 2) = 6n + 3 = 3(2n + 1)
nは整数なので2n + 1も整数である。よってa + b ∈ C0

1 , 2 ともにC1 , C0 に属しているということは正しいのですが、解答にいたるまでの自分の考え方があっているかどうかがわかりません。(特に剰余類について)

どなたかご教授よろしく御願いいたします。

回答No.2

koko_u_ · ベストアンサー

>また、確かに
>「C0 は整数を 3 で割った時、あまりが 0 になる整数の集合
>C1 は整数を 3 で割った時、あまりが 1 になる整数の集合
>C2 は整数を 3 で割った時、あまりが 2 になる整数の集合
> なので、」
> とはかかれていないので
>「C0 は整数を 3 で割った時、あまりが 0 になる整数の集合
>C1 は整数を 3 で割った時、あまりが 1 になる整数の集合
>C2 は整数を 3 で割った時、あまりが 2 になる整数の集合
> とすると」
> のように変更すれば問題ないでしょうか？

いいえ。問題文に「3の剰余類をC0,C1,C2とするとき」としか書かれていないとすれば、
「a ∈ C0 , b ∈ C1 のとき a + b　はどれに属するか。」は問題として成立しないということです。

お礼

再度回答ありがとうございます。
ご指摘の内容がまだよくわからないので、もう少しじっくり考えて見ます。
これ以上他の回答が得られないようなので、締め切らせていただきます。
どうもありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

まあ、整数環の剰余類として、

>C0 は整数を 3 で割った時、あまりが 0 になる整数の集合
>C1 は整数を 3 で割った時、あまりが 1 になる整数の集合
>C2 は整数を 3 で割った時、あまりが 2 になる整数の集合
> なので
そのようなことは問題文には述べられていませんが、まあこれも良いとしましょう。

>解答にいたるまでの自分の考え方があっているかどうかがわかりません
あっていません。

a b は各々勝手な C0、C1 の要素なので、それが一つの n をもって同時に表現されるとは限りません。

お礼

早速の回答ありがとうございます。

＞a b は各々勝手な C0、C1 の要素なので、それが一つの n をもって同時に表現されるとは限りません。

私は整数 n を用いることで C0 , C1 の全ての要素を一般的に表現できると考えたのですが、間違いということですね。
ということは2つの整数 m , n を用いて a , b をそれぞれ
1 のとき
a = 3m
b = 3n + 1
2 のとき
a = 3m + 1
b = 3n + 2
と表現すればよいのでしょうか？

また、確かに
「C0 は整数を 3 で割った時、あまりが 0 になる整数の集合
C1 は整数を 3 で割った時、あまりが 1 になる整数の集合
C2 は整数を 3 で割った時、あまりが 2 になる整数の集合
なので、」
とはかかれていないので
「C0 は整数を 3 で割った時、あまりが 0 になる整数の集合
C1 は整数を 3 で割った時、あまりが 1 になる整数の集合
C2 は整数を 3 で割った時、あまりが 2 になる整数の集合
とすると」
のように変更すれば問題ないでしょうか？

よろしく御願いします。