背理法の問題

質問

問題が・・・
a,b,cは整数とし、a^2,b^2,c^2=c^2とする。a,bのうち、少なくともひとつは３の倍数であることを証明せよ～。
というものですが、解答の流れを見ていて
また疑問が・・・
「解答」
a,bはともに３の倍数でないと仮定すると。
aとbは
a=3m±1,b=3m±1(m,nは整数)とあらわせる。

☆ここなんですが、なんで±の部分が1になるのかが
　わかりません。２とかはまずいですが
　４とか５じゃだめなんでしょうか。

a^2+b^2=(3m±1)^2+(3n±1)^2
=3(3m^2+3n^2±2m±2n)+2
ちなみに複合同順ですね。
3m^2+3n^2±2m±2nは整数だから
a^2+b^2を３で割ったあまりは２

一方c=3k,3k±1とあらわせて・・

☆ここのcではなんか二種類にもあらわせている。
　またわからんのです。

解答にはあとちょっと続きありますが
ここの二つのポイント教えてもらえれば
十分です。アドバイスまってます・・・・
(^^_且~~~~

回答No.3

tojyo · ベストアンサー

まず「a^2,b^2,c^2=c^2」ってなんですか？もう一度確認してください。

＞a=3m±1,b=3m±1(m,nは整数)とあらわせる。
＞☆ここなんですが、なんで±の部分が1になるのかが
＞　わかりません。２とかはまずいですが
＞　４とか５じゃだめなんでしょうか。

別に「a=3m±1」と書かずに「a=3m+1,3m+2」と書いても問題はありませんが、aの二乗の説明をする際にa^2=9m^2+6m+1,9m^2+12m+4となり、ひとつの式で表せません。これをさらにa^2+b^2とするともはや簡単に表現することができません。a=3m±1と書けばa^2=9m^2±6m+1で表現できます。当然a^2+b^2=3(3m^2+3n^2±2m±2n)+2とひとつの式で表現できます。
a=3m+4と書いたとして、この式はa=3(m+1)+1でありm+1=Mと置き換えればa=3M+1で表現できますよね。mが整数なんで当然M=m+1も整数です。

なぜ3の倍数でない数が3m±1で表せるかをもう一度じっくり考える必要がありますね。

＞一方c=3k,3k±1とあらわせて・・

cは一般的な整数です。整数は3で割ると割り切れる数(c=3k)と、3で割ると1余る数(c=3k+1)と、3で割ると2余る数(c=3k-1)に分類できます。
なんでcは二種類ではなく三種類です。
このcを二乗してみればわかりますが、c=3kはc^2=9k^2=3(3k^2)で3で割り切れる、c=3k±1はc^2=9k^2±6k+1=3(3k^2±2k)+1で3で割ると必ず1余ります。

あとはOKなんですよね。

回答No.5

sak_sak

他の方が専門的に書かれているので、大雑把に書きます。
まず、この問題は「3の倍数」というのがキーワードですね。
となると、整数というものを「3で割り切れるかどうか」という観点で次の3つに分類するわけです。
(1)3の倍数
(2)3で割ったら1余る数
(3)3で割ったら2余る数
質問文を見た限りでは、ここまでは理解しているんだと思います。

(1)でないと仮定するわけですから、(2)と(3)の場合を考えるわけですが、(2)は3m+1、(3)は3n+2、と置くのが最も直感的だ(余りがわかりやすい)と思いますし、最初のうちはこれで解いていく方法で良いと思います。
ただ、この方法の弱点は2つの場合を書かなければいけないため、答えを書くスペースは必要になるし、何より時間がかかります。
(2)を3m+4、(3)を3n+5と置いても駄目ということは無いと思いますが、計算が面倒になると思いますし、自分自身がこんがらかるのではないでしょうか。

なぜ質問に書かれている解法は、(3)を3m-1と置いているわけなのですが、これは複号(±)を使うことによって、2つの場合を一気にまとめて解答できる、という長所があります。問題集はなるべく少ない紙面にしないと金がかかるから、というのは冗談ですが、やはり解答はシンプルで短い方がいいですからね。
ただ慣れないとこんがらかるので、2つの場合を別々に解いていく方法で良いと思います。

回答No.4

pocopeco

=c^2 で、a,bのうち、少なくともひとつは３の倍数であることを証明せよ,
という問題なら見たことあるので、その問題だということにして解説します。

背理法という証明法：証明したいことの否定を仮定→矛盾→仮定が否定される→証明できる

ここでは、
a,bはともに３の倍数でない→a^2+b^2=c^2に矛盾→a,bはともに３の倍数でないという事が否定される→a,bのうち、少なくともひとつは３の倍数
という流れになります。

で、
＞一方c=3k,3k±1とあらわせて・・

☆ここのcではなんか二種類にもあらわせている。
　またわからんのです。

*　cは３種類に表されていて、どれをとっても、c^２が(3の倍数+2)にならないことを示せばよいのです。

(3の倍数+2)は、a,bともに３の倍数ではないときの　a^2+b^2=3(3m^2+3n^2±2m±2n)+2 の事です。

回答No.2

pocopeco

a^2,b^2,c^2=c^2　←この式は何でしょう。

問題はわかりませんがちょっと解説。

＞a,bはともに３の倍数でないと仮定すると。
aとbは
a=3m±1,b=3m±1(m,nは整数)とあらわせる。

☆ここなんですが、なんで±の部分が1になるのかが
　わかりません。２とかはまずいですが
　４とか５じゃだめなんでしょうか。

＊３の倍数にならないという表現なので、もちろん２や4、5を使ってもよいですが、４=3+1,５=3+2 なので、使うなら１か２でしょう。小さい数の方が計算が楽です。
a=3m+1,3m+2、 または3m-1,3m-2 と表してもよいですし、3m±2 でもかまいません。

＞a^2+b^2=(3m±1)^2+(3n±1)^2
=3(3m^2+3n^2±2m±2n)+2
ちなみに複合同順ですね。
＊復号同順ではありません。これは(+,-) (+,+)(-,+)(-,-)の４パターンです。
a,bの設定で±を使わずに考えると、(a,b)=(3m+1,3n-1),(3m+1,3n+1),(3m-1,3n+1),(3m-1,3n-1)
の場合を考えます。

回答No.1

noname#14572

問題がよく分からないのですが…。

＞☆ここなんですが、なんで±の部分が1になるのかが
　わかりません。２とかはまずいですが
　４とか５じゃだめなんでしょうか。

２でもよいのでは？
後の計算で 2^2+2^2=8=(3×2)+2 となり面倒ですが。
４だと結局 3m±4=3m´±1 ですよね。
３だとa,bが３の倍数になってしまいダメですが。

＞☆ここのcではなんか二種類にもあらわせている。
　またわからんのです。

cは全ての整数ってことですよね。
後の計算のためa,bと同じ書き方に直したんでしょう。