背理法

質問

等式(a＾2)＋(b＾2)=(c＾2)…(1)をみたす３つの自然数a,b,cについて。
等式(1)をみたす自然数a,b,cにおいて
(1)
a,b,のうち少なくとも１つは３の倍数である
これを成り立つ方法を教えてください

自然数nは３ｋ－２，３ｋ－１，３ｋ（Kは自然数）

n=3k-2のとき
(n＾2)=9(k＾2)-12k＋4=3(3(k＾2)-4k)＋1)

n=3k-1のとき
(n＾2)=9(k＾2)-6k＋1=3(3(k＾2)-2k)＋1)

n=3kのとき
(n＾2)=9(k＾2)＝3*3(ｋ＾2)

上の結果からn＾2を3で割った余りは0である。
a,bがともに3の倍数でないと仮定すると
例えば
aは4の倍数
bは5の倍数とすると
16/3=5余り1
25/3=8余り1
となり余り1

(a＾2)＋(b＾2)は3で余ったとき
(16＋25)/3=13余り2となる。
と考えていいのですか？

c＾2は
どのように考えればいいのですか？

回答No.4

chiropy · ベストアンサー

質問の回答になっているか分かりませんが。
a,b,のうち少なくとも１つは３の倍数である。を証明するので、どちらも3の倍数でない時を考えます。
a=3k+1,b=3k+1の時
a^2+b^2
=(3k+1)^2+(3k+1)^2
=2(3k+1)^2
={(3k+1)√2}^2
となりcが自然数に反する。

a=3k+1,b=3k+2の時
a^2+b^2
=(3k+1)^2+(3k+2)^2
=(9k^2+6k+1)+(9k^2+12k+4)
=18k^2+18k+5
より自然数の二乗の形にならない。

a=3k+2,b=3k+2の時
a^2+b^2
=(3k+2)^2+(3k+1)^2
=2(3k+2)^2
={(3k+2)√2}^2
cが自然数に反する。

a=3k+2,b=3k+1の時
二つ目と同じ

以上よりa,b共に3の倍数でないとすると題意を満たさない。題意を満たすためには、少なくとも一方は3の倍数でなければならない。

条件「a,b,のうち少なくとも１つは３の倍数である」を否定した時、その全てをしっかり場合わけできるようにしましょう。

回答No.3

yoko_love1983

てかa＾2＋b＾2≠c＾2
を示すために、http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1963170にあまりをつかって導いているじゃないですか？
きちんと読みましょう。

回答No.2

yoko_love1983

上の結果からn＾2を3で割った余りは0である。
a,bがともに3の倍数でないと仮定すると
例えば
aは4の倍数
bは5の倍数とすると
16/3=5余り1
25/3=8余り1
となり余り1

(a＾2)＋(b＾2)は3で余ったとき
(16＋25)/3=13余り2となる。
と考えていいのですか？

c＾2は
どのように考えればいいのですか？

質問の意味がよくわかりません。そもそもなんで４の倍数と5の倍数を出すのかがよくわかりません。また
”c＾2をどのように表すか教えてください”も意味不明です。どのように表すとは？なにでどう表すのかはこっちが聞きたいです。何を表すのですか？

”私の求め方は合ってますか？”

全くあっていません。

aは4の倍数
bは5の倍数とすると
16/3=5余り1
25/3=8余り1
となり余り1

4の倍数４、８、１２、１６…とあって３でわると
あまりは必ず1になってますか？

補足

a,bがともに3の倍数でないと仮定するとa＾2,b＾2はともに3で割ったとき余りがどうして１になるのあ分からなくて勝手に3以外の数字を考えてしまいました
ごめんなさい。

分かったつもりだったのですが考えれば考えるほどわからなくなってしまって。

(a＾2)＋(b＾2)は3で割ったときどうしてあまりは2となるのでしょうか？

そして、
平方数c＾2は３で割った余りはどうして0または1となるのでしょうか？
馬鹿ですいません。

まとめで
a,b,のうち少なくとも1つ3の倍数というのが良くわかりません。

本当に馬鹿すぎてごめんね。

回答No.1

mister_moonlight

＞a,b,のうち少なくとも１つは３の倍数である
＞これを成り立つ方法を教えてください

a、b、cが全て3の倍数でないと仮定したら、a＾2＋b＾2-c＾2＝0となり得ない事を証明すると良いです。
それが証明できれば、a,b,のうち少なくとも１つは３の倍数である事の証明になります。

補足

a＾2＋b＾2≠c＾2
を求めるために
c＾2をどのように表すか教えてください
私の求め方は合ってますか？