背理法

質問

等式(a＾2)＋(b＾2)=(c＾2)…(1)をみたす３つの自然数a,b,cについて。
等式(１)をみたす自然数a,b,cにおいて
(i)
a、bのうち少なくとも１つは４の倍数である
これは
n=4k-3
n=4k-2
n=4k-1
n=4k
について考えたあとどのように考えるかわかりません

(ii)
a、ｂ、ｃのうち少なくとも１つは５の倍数である

n=5k-4
n=5k-3
n=5k-2
n=5k-1
n=5k

について考えたあとどのように考えるかわかりません

回答No.3

Tacosan

#2 です.
考えてみたら (i) では 8 より 16 を使った方が安全ですね.

で, 16を使えば (i) も (ii) も同じなので (ii) の方だけ:
自然数の平方を 5で割った余りは 0, 1, 4 のどれかです. ということで, a + b = c となる a, b, c (いずれも 0 か 1 か 4) を全部列挙してください. 結論が自動的に出てくるはずです. あ, 足し算をするときには「5で割った余りを考える」 (つまり 4 + 4 = 3 になる) ことに注意してください.

... どこにも背理法が出てこない.... って, そもそも背理法はいらないからなぁ.

回答No.2

Tacosan

(i) が曲者なのでこちらだけ:
a, b, c の最大公約数は 1であると仮定しておいて 8で割った余りを考えてみる.

補足

(i)
a、bのうち少なくとも1つは４の倍数であるとき
n=4k-3のとき4(4k＾2 -6k＋2)＋1
n=4k-2のとき4(4＾2 -4k＋1)
n=4k-1のとき4(4k＾2 -4k＋1)
n=4kのとき4*4k＾2
n＾2を４で割った余りは０または１
a、bがともに４の倍数でないと仮定するとa＾2、b＾2はともに４で割った余りが１であり(a＾2)＋(b＾2)は４で割った余りは２
ｃ＾２は４で割った余りは０または１であるから
(a＾2)＋(b＾2)≠c＾２となり矛盾

これで合ってますか？

(ii)
a、b、cのうち少なくとも１つは５の倍数のとき
n=5k-4のとき5(5k＾2 -8k＋3)＋1
n=5k-3のとき5(5k＾2 -6k＋1)＋4
n=5k-2のとき5(5k＾2 -4k)＋4
n=5k-1のとき5(5＾2 -2k)＋1
n=5kのとき　5*5k＾2
n＾2を５で割った余りは0または1または4である
a、bがともに５の倍数でないと仮定するとa＾2、b＾2はともに５で割った余りは１または４である

ここまで合ってますか？
この後が分かりません

回答No.1

take008

この後やることは
ｎ^2を計算して４(または５)で割った余りを調べる。
ａ，ｂが４(または５)の倍数でないときａ^2＋ｂ^2を４(または５)で割った余りは何になるか？
ｃ^2を４(または５)で割った余りがそれと一致するｃがあるか？