【背理法】

質問

（１）
１．√2が無理数であることの証明。

２．実数aがa^2+a+1=0をみたすとき、
aが無理数であることの証明。

（２）
１．ｎが自然数とするとき、ｎ^3が３の倍数ならば、
ｎは３の倍数になることの証明。

２．３の3乗根が無理数であることの証明。

（１）の１は省略してもらってもかまいません^^*
実際に書いてあったまま載せました。

その他の問題が解けずに悩んでます(><)

解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞（１）
＞１．√2が無理数であることの証明。
「ｎ^2が２の倍数（偶数）　ならば、ｎは２の倍数」……（Ａ）　
を証明します。
対偶；ｎは奇数　ならば、ｎ^2は奇数　を示します。
ｎは奇数だから、ｎ＝２ｋ＋１（ｋは整数）と表せる。
ｎ^2＝（２ｋ＋１）^2＝４ｋ^2＋４ｋ＋１
＝２（２ｋ^2＋２ｋ）＋１より、ｎ^2は奇数
よって、対偶が真だから、元の命題（Ａ）も成り立つ。

√２＝ｍ／ｎ（ｎ≠０，ｍとｎは互いに素な整数）とすると、
√２ｎ＝ｍ　両辺を２乗して
２ｎ^2＝ｍ^2　……（＊）
ｍ^2は２の倍数なので、（Ａ）より、ｍは２の倍数　
だから、ｍ＝２ｋ（ｋは整数）とおける
ｍ^2＝４ｋ^2より、（＊）に代入して
２ｎ^2＝４ｋ^2より、ｎ^2＝２ｋ^2
ｎ^2は２の倍数なので、（Ａ）より、ｎは２の倍数
よって、ｍ，ｎとも２の倍数となり、互いに素であることに矛盾する。
よって、√２は無理数

＞２．実数aがa^2+a+1=0をみたすとき、
＞aが無理数であることの証明。
問題を確認して下さい。（ａは無理数ではないです。）

＞（２）
＞１．ｎが自然数とするとき、ｎ^3が３の倍数ならば、
＞ｎは３の倍数になることの証明。
対偶により証明します。
対偶：ｎは３の倍数でない　ならば、ｎ^2は３の倍数でない
ｎ^2は、３の倍数でないから、３で割った余りが１か２になるということだから、
ｎ＝３ｍ＋１　または　ｎ＝３ｍ＋２（ｍは整数）とおける。
ｎ＝３ｍ＋１のとき、
ｎ^3＝（３ｍ＋１）^3＝２７ｍ^3＋３・９ｍ^2＋３・３ｍ＋１
＝３（９ｍ^3＋９ｍ^2＋ｍ）＋１より、３の倍数でない。
ｎ＝３ｍ＋２のとき、
ｎ^3＝（３ｍ＋２）^3＝２７ｍ^3＋３・１８ｍ^2＋３・１２ｍ＋８
＝３（９ｍ^2＋１８ｍ^2＋１２ｍ＋２）＋２より、、３の倍数でない。
よって、対偶が真だから、元の命題
ｎ^3が３の倍数ならば、ｎは３の倍数になる　はなりたつ。

＞２．３の3乗根が無理数であることの証明。
3√３＝ｍ／ｎ（ｎ≠０，ｍとｎは互いに素な整数）とすると、
両辺を３乗して、（ｍ／ｎ）^3＝３で３の倍数だから、
（２）１より、ｍ／ｎも３の倍数
だから、ｍ／ｎ＝３ｋ（ｋは整数）と表せる。
ｍ＝３ｋｎより、ｍは３の倍数　このとき、
ｍ／ｎが３の倍数（整数）であるためには、ｎは
ｎ＝１か、ｍの３の倍数でない約数か、ｍと一致しない３の倍数である約数
でなければならないから、
ｍ，ｎが互いに素であることに矛盾する。
よって、３の3乗根は無理数である。

でどうでしょうか？

お礼

a^2+a+1=0→a^3+a+1=0
でした。

(2)の２の解答が、すごくわかりやすかったです！

ありがとうございました^^*

回答No.4

f272

(1)2.　実数aがa^2+a+1=0をみたすとき、aが無理数であることの証明。

aが有理数であると仮定して，a=m/nただしmとｎは互いに素な整数とする。
このとき
(m/n)^2+(m/n)+1=0
(m/n+1/2)^2=-3/4
となって実数の２乗が負数になる。これは成立しないので，仮定は誤りであり，aは無理数である。

ようするに，命題の前提が偽（実数aはa^2+a+1=0を満たさない）であれば結論はなんでもありということだ。

回答No.2

misumiss

どういう分野の問題ですか。
問題文の解釈次第では, (1) の 2. が真であることは, 簡単に証明できると思います。

回答No.1

asuncion

(1)2.
a^2+a+1=0 を解くと、
a={－1±√(1－4)}/2
=(－1±√3i)/2
となり、実数解を持ちません。
実数aがa^2+a+1=0を満たすことはないので、証明不可能だと思います。

(2)1.
背理法の問題かどうか、よくわかりません。
nが3の倍数でないとする。このとき、1以上の整数mを用いて、
n=3m－1 …… (a)
または
n=3m－2 …… (b)
の形で書ける。
(a)の場合、
n^3=(3m－1)^3=27m^3－27m^2+9m－1=3(9m^3－9m^2+3m)－1
となり、n^3は3の倍数ではない。
(b)の場合、
n^3=(3m－2)^3=27m^3－54m^2+36m－8=3(9m^3－18m^2+12m－2)－2
となり、n^3は3の倍数ではない。
これらの結果から、命題「nが3の倍数でないならば、n^3は3の倍数ではない」は真であることがわかる。
よって、この命題の対偶である「n^3が3の倍数ならば、nは3の倍数である」も真である。

お礼

背理法でも、対偶をつかってもいいそうです。

ありがとうございました^^*