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自己同型群について。

Z:整数の作る加法群、Z/9Z:位数9の巡回群、p:Z→Z/9Z (自然な射影) とします。 (1)σ(p(1))=p(2)を満たすσ∈Aut(Z/9Z)を求めよ。 (2)Aut(Z/9Z)の位数を求めよ。 (3)Aut(Z/9Z)の元の位数として表れる数を列挙せよ。 以上が問題です。またAut(Z/9Z)は具体的にどのような写像になるのでしょうか? 解説付きでお願いします。

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Z:整数加法群 Z/9Z:位数9巡回群 p:Z→Z/9Z n∈Z→p(n)=[n] Z/9Z={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8]} とする (1) σ([1])=[2] σ([2])=σ([1]+[1])=σ([1])+σ([1])=[2]+[2]=[4] σ([3])=σ([2]+[1])=σ([2])+σ([1])=[4]+[2]=[6] σ([4])=σ([3]+[1])=σ([3])+σ([1])=[6]+[2]=[8] σ([5])=σ([4]+[1])=σ([4])+σ([1])=[8]+[2]=[1] σ([6])=σ([5]+[1])=σ([5])+σ([1])=[1]+[2]=[3] σ([7])=σ([6]+[1])=σ([6])+σ([1])=[3]+[2]=[5] σ([8])=σ([7]+[1])=σ([7])+σ([1])=[5]+[2]=[7] σ([0])=σ([8]+[1])=σ([8])+σ([1])=[7]+[2]=[0] と定義されるσは Z/9ZからZ/9Zへの自己同型写像だから σ∈Aut(Z/9Z) (2) [k]∈Z/9Z,0≦k≦8 kと9が互いに素とすると mk+9j=1 となる整数m,jがある mk=1(mod9) となる整数0<m<9がある [k]の乗法逆元[m]がある k倍写像 σk([n])=[kn],([n]∈Z/9Z) の逆写像があるから kと9が互いに素のとき σkはZ/9ZからZ/9Zへの自己同型写像となる σ0([1])=[0]=σ0([0])だからσ0は同型でない σ3([3])=[0]=σ3([0])だからσ3は同型でない σ6([3])=[0]=σ6([0])だからσ6は同型でない k=1,2,4,5,7,8 のときkと9が互いに素だから σ1([n])=[n],([n]∈Z/9Z) σ2([n])=[2n],([n]∈Z/9Z) σ4([n])=[4n],([n]∈Z/9Z) σ5([n])=[5n],([n]∈Z/9Z) σ7([n])=[7n],([n]∈Z/9Z) σ8([n])=[8n],([n]∈Z/9Z) の6個が Z/9ZからZ/9Zへの自己同型写像だから Aut(Z/9Z)={σ1,σ2,σ4,σ5,σ7,σ8} の位数は 6 (3) Aut(Z/9Z)の位数6の約数 1,2,3,6 σ1([n])=[n]の位数1 2^6=(2^4)(2^2)=7*4=1(mod9) 5^6=25^3=7^3=4*7=1(mod9)だから σ2([n])=[2n]の位数6 σ5([n])=[5n]の位数6 4^3=7*4=1(mod9) 7^3=4*7=1(mod9)だから σ4([n])=[4n]の位数3 σ7([n])=[7n]の位数3 8^2=1(mod9)だから σ8([n])=[8n]の位数2

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質問者からのお礼

丁寧な解答有難うございます。勉強になりました。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3

おっとすみません。ANo1さんとかぶってしまいました。

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  • 回答No.2

(1) について σ(p(0))、σ(p(1))、…、σ(p(8)) をすべて示せば、σを求めたことになる。 (2) について σ∈Aut(Z/9Z) とする。σ(p(1)) を定めるとσが完全に決定される。σ(p(1)) になり得るのは、p(0)、p(1)、…、p(8) の高々 9 種類しかない。このうち自己同型を定めるものを抜き出せば、その個数が Aut(Z/9Z) の位数。 (3) について (2)で得られた自己同型のすべてについて位数を計算すればよい。 「Aut(Z/9Z)は具体的にどのような写像になるのでしょうか?」について Aut(Z/9Z)は写像でない。

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