微分方程式の解が意味するもの

質問

ある問題集の解説から質問です。

(d/dx)^2φ(x)=kφ(x) ただし k > 0
上の微分方程式の解は
φ(x)=Aexp{(√k)x}+Bexp{(-√k)x} A,Bは任意の定数
になると思うのですが、この解がx→+-∞のとき
どちらの場合でも　φ(x)→0　にはなりませんよね？

それとももしかして、A,Bは任意だからx→∞のときA < 0 とし、x→-∞のときB < 0 と勝手にすることで
φ(x)→0 としてるのでしょうか？

回答No.3

hitokotonusi · ベストアンサー

微分方程式関係ないですね。

量子力学でいうエネルギーEは力学的エネルギーで、運動エネルギーKと位置エネルギーVの和です。

E = K + V

このうち運動エネルギーはその定義から常に非負なので、次の不等式が成りたたなければならない。

E >= V

したがって、古典論では粒子が運動可能な領域はエネルギーがポテンシャル以上の領域に限られ、
エネルギーがポテンシャルより小さい領域には絶対に侵入できません。

量子力学の場合はというと、古典的には粒子が侵入不可能の領域にも侵入は可能です。
しかしながら、量子力学といえども古典的に侵入不可能な領域は不自然な領域なわけで、
深く入れば入るほど存在確率が減少して行く事が要請されます。
したがってこの古典的侵入不可能領域が無限に続いていれば、存在確率はどんどん減少し、最終的には0になります。

このことを考えれば、問題文の

＞が存在して、V+ < V- である場合を考える。エネルギー固有値がε< V+ の場合に

より、エネルギーεはV+, V-の何れよりも小さいので、正負共に十分に遠方では古典的侵入不可能領域になっており、
Φ(x→+∞)、Φ(x→-∞)は0になる事が要請されます。十分に遠方でなければ0ではない波動関数が解として存在するので、その絶対値の二乗である存在確率(確率密度)が0ではない領域があります。

以上より、おおよそ中央あたりに存在確率が0ではない領域があり、十分遠方では存在確率が0となっているわけですから束縛状態です。

お礼

なるほど！
問題の背景をきちんと読み取れていませんでしたね・・・
とても分かりやすい解説ありがとうございました！

回答No.2

hitokotonusi

質問の意図がわかりません。

量子力学の井戸型ポテンシャルでは、

【無限遠で波動関数φ(x)が0になるという物理的な要請】

によって、x>0の領域ではA=0、x<0の領域ではB=0を導きます。

＞それとももしかして、A,Bは任意だからx→∞のときA < 0 とし、x→-∞のときB < 0 と勝手にすることで
＞φ(x)→0 としてるのでしょうか？

A<0またはB<0としたところでx->±∞でφ(x)→0 にはなりません。
+∞の発散が-∞の発散になるだけです。

いずれにしても、一般解に含まれる定数A,Bの値を決めるためには、
数学以外からの解についての要請が必要です。

補足

すみません。問題文もきちんと書いたほうがよさそうですね。
問.1次元の時間を含まないシュレーディンガー方程式の解は、無限遠で0になるときは束縛状態を表し、無限遠で有限値にとどまるときは非束縛状態を表す。いまlim(x→+∞)V(x)=V+ 　　lim(x→-∞)V(x)=V-　
が存在して、V+ < V- である場合を考える。エネルギー固有値がε< V+ の場合に、束縛状態か非束縛状態かを答えよ 。
という問題で先ほどのような質問をしました。
要するに、なぜその条件で束縛状態になるのかというのがわかりませんでした。

回答No.1

noname#176691

空気抵抗等がある減衰振動でなければ、φ(x)→0とならなくても不思議ではありません。
実現象は右辺に速速度項を引いて減衰振動としています。