これが解となるような微分方程式とは？

質問

ある試験のデータのfitting結果から、この系の微分方程式にたどりつきたい・・と、虫のいい質問ですが、よろしくお願いします。
ｙ（ｘ）＝ａexp(-bx^c)
　a,b,cは定数です。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

えと。テクニックもなんもなくて、ですね、

ｙ＝ａexp(-bx^c)　…(1)

をとにかく微分してみりゃいいのです。(1)をyで微分したら

1＝-ａbc (x^(c-1)))x'exp(-bx^c)

となって、xに関する微分方程式が得られます。くおど、えらと、でもんすとらんだむ！

　え？何か？…yについての微分方程式をお望みで？ほんとですか？ええと、もしそうなら、(1)をyで微分しますと、

y' = a(-bc(x^(c-1)))exp(-bx^c)　…(2)

でしょ？で、右辺をyを使って表せるだけ表してみますと

y' = -bc(x^(c-1))y　…(3)

となります。立派な微分方程式でござんしょ。aが消えてしまうのはしょうがないんです。

　は？xが入ってるのがお気に召さない？そうなんですか？…だったら、もう一回微分やります。

y'' = -bc(x^(c-1)) ((c-1)y/x+y')　…(4)

となる。(3)から

x^(c-1) = -y'/(bcy)　…(5)

と分かりますから、代入して

y'' = (y'/y) ((c-1)y/x+y')　…(6)

つまり

y'' = ((c-1)/x+1/y)y'　…(7)

となります。この段階でbも犠牲になってしまうのは、これまたしょうがないんです。まだxが残ってるじゃないかって、いやちょっとお待ちを。さて、(7)から

x = (c-1)y'/(y'' - y'/y)　…(8)

と分かるんで、(7)をもう一回xで微分して、その結果出て来るx全部に(8)を代入するんです。そうすれば、yとその導関数だけの方程式になると同時に、cも哀れ、消滅してしまいます。

　a,b,cが含まれないこの（ここには示していない）微分方程式は、当然のことながら、わざわざデータにfittingして決めたパラメータa,b,cの値とは全く無関係ですね。モデルy＝ａexp(-bx^c)の形に当てはまるもの全てを解として含む。それ以外の解も含む訳ですが。

お礼

レスが遅くなり申し訳ありませんでした。
それから丁寧なご回答ありがとうございました。
これを基に基となった式を考えて行きたいと思います。

回答No.1

metzner

こんにちは、a,b,cを消せばいいわけですよね?
まず対数をとって微分する。そしてさらに対数をとる。
そして微分する。xをかけてさらに微分する。
するとa,b,cがない法則が得られます。
すなわち３階微分方程式になります。

お礼

すみません。初めての質問で不慣れなため、お礼を投稿したつもりが、UPされていませんでした。ありがとうございました。