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微分方程式について

この連立微分方程式の解き方がわかりません。どのようにして解けばいいのでしょうか。  x''=Ax/r^2+y'B  y''=Ay/r^2-x'B (A,Bは定数 x'',y''はそれぞれx,yの二階微分、x,yはそれぞれx,yの一階微分 r=(x^2+y^2)^1/2) どなたかよろしくお願いします。

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  • 回答No.5

角運動量は次のようにすればよいのですね(汗)。 x''=Ax/r^2+y'B  (1) y''=Ay/r^2-x'B  (2) {(1)×y}-{(2)×x}を作る。 yx''-xy''=A(xy-xy)/r^2+y'yB+x'xB =B(xx'+yy')  (4) ここで, d/dt{x'y-y'x}=x''y+x'y'-y''x-y'x'=x''y-y''x d/dt{(1/2)r^2}=d/dt{x^2+y^2}/2=x'x+y'y を利用すると,(4)は d/dt{x'y-y'x}=(B/2)[d(r^2)/dt] と書ける。両辺を時間tで積分して x'y-y'x=(B/2)*r^2+Const. これで,もう一階積分できて, 角運動量の式が作れました。

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質問者からのお礼

おぉ・・・ ありがとございました。やってみます!

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  • 回答No.4

x''=Ax/r^2+y'B  (1) y''=Ay/r^2-x'B  (2) {(1)×x'}+{(2)×y'}を作る。 x'x''+y'y''=A(xx'+yy')/r^2+y'x'B-x'y'B =A(xx'+yy')/r^2  (3) ここで, d/dt{(x')^2+(y')^2}=2x'x''+2y'y'' d/dt{r^2}=d/dt{x^2+y^2}=2x'x+2y'y を利用すると,(3)は d/dt{(x')^2+(y')^2}=A[d(r^2)/dt]/r^2 と書ける。両辺を時間tで積分して (x')^2+(y')^2=A*log(r^2)+Const. これで,とりあえず一階積分できて, 運動エネルギーの式が作れました。 この先,角運動量を出すのかなと思いますが, ごめんなさい,すぐは分かりません。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございました。

  • 回答No.3

こんにちは。 とりあえず分かるのは、1式目を2x’倍、2式目を2y’倍して、二つの式の和をとると、Bの項が消去されて、積分すると、(積分定数を省略) x’^2+y’^2=A・ln(r^2) が得られますね。 速度の2乗なので、運動エネルギを示すパラメータでしょうか。

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質問者からのお礼

おぉ・・・ なるほど、ありがとうございます。指針が立ちました。

  • 回答No.2

そもそも意味がわからない > x,yはそれぞれx,yの一階微分 > x'',y''はそれぞれx,yの二階微分 xをxで微分したら1 xをxで二階微分したら0

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質問者からのお礼

すいません。書き忘れていました。x、yは時間tの関数です。微分は時間微分です。よろしくおねがいします。

  • 回答No.1

2式をもう一回微分して元の式を代入。

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質問者からのお礼

ちょっとやってみます。ありがとうございました。

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