微分方程式の問題

質問

3(x^2)y''-xy'+y=0　　　ただし、x>0

という微分方程式を解きなさいという問題です。

2階の微分方程式はy''+ay'+by=0の形をしたやつしか解けません。
f(x)が付いたらy''+ay'+by=0と同じやり方ではやはりいけません。

分かる方がいらっしゃいましら、ご教授をお願いいたします！

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

与式： 3(x^2)y''－xy'＋y＝0
は，２階線形の微分方程式なので，一般解は，積分定数を A, B として，
y＝Au(x)＋Bv(x)
で表せることになります．この u(x) と v(x) を求める問題です．

２階線形常微分方程式は，解を求める為の決まった一般的な方法が無く，微分方程式が具体的に与えられて，はじめて，解を探す方法を考えることになります．

いまの場合は，y＝x が，一つの特殊解 u(x) に相当することが，直ぐに分かります．これは，x を微分すると 1 になり，x を２回微分すると 0 になる事から，与式： 3(x^2)y''－xy'＋y＝0 を見た時に，直感的にひらめくのです．

この特殊解 y＝x を，与えられた式 3(x^2)y''－xy'＋y＝0 から直接計算で導く方法はありません．常微分方程式の解を仮定してみて，それが与えられた微分方程式を満たすかどうかを計算するだけです．

さて，一つ目の特殊解 u(x)＝x を得たら，二つ目の特殊解 y は， u(x)＝x の x を用いて，

y＝xg　・・・・・　g は x の関数．

とおく事により求まります．計算しますので，検算してみて下さい．

y'＝xg' ＋ g
y''＝xg'' ＋ 2g'

3(x^2)y''－xy'＋y ＝ 3xg''＋ 5g'＝0

3xg''＋ 5g'＝0 により計算すると，

g''/g'＝ －5/(3x) → ∫ g''/g' dx ＝ (－5/3)∫1/x dx
log(g')＝(－5/3)log(x)　・・・・・　log　は自然対数．
g'＝x^(－5/3) → ∫g'dx ＝ ∫x^(－5/3) dx
g ＝(－3/2) x^(－2/3)

故に，y＝xg　は，
【 係数(－3/2) は，積分定数に含まれるので，以下では省略（書かない）する 】

y＝x＊x^(－2/3)＝x^[(－2/3)＋1]＝x^(1/3)
y＝x^(1/3)　・・・・・　これが，v(x)　に相当する．

したがって，与式の一般解は，

y＝Ax＋Bx^(1/3)

です．( A，B は積分定数)

お礼

ご丁寧に教えていただき、ありがとうございます。
一つだけ不明な点を質問させていただきます。

【一つ目の特殊解 u(x)＝x を得たら，二つ目の特殊解 y は， u(x)＝x の x を用いて，
y＝xg　・・・・・　g は x の関数．
とおく事により求まります．】

一つ目の特殊解は直感でわかるというのは納得です。
3次方程式の3x^3-x^2+x-1=0とかを解く時もx=-1って直感で分かりますよね。

二つ目の特殊解についてですが、y＝xgとおく理由は何でしょうか。
確かに、こうやっておくと、方程式はすらすら解けてしまいますが、
ふうに置くのも直感なのでしょうか。

回答No.3

alice_44

定数変化法は、いわば、線型微分方程式の因数分解みたいなものです。
特解 y = y0 を用いて y = (y0)g と置換した時点で、g の微分方程式は
定数関数 g=1 を解に持つことが判っているので、方程式が g'=0 部分と
その他の部分に分解できる期待があります。その結果、微分方程式の
階数が下がったりすれば、嬉しいですよね。

それにしても、y0 は何とかして見つける必要があるので、イロイロ
やってみるのです。y = a x^n はどうかとか、y = e^u と置換してみる
とかが、よくある手でしょうか。何が上手くいくかは、やってみないと
わからないのですが。

質問の問題では、y = x^n が上手くいって、代入すると n = 1, 1/3 で
解になっていることが判ります。n 階斉次線型微分方程式の解は n 次元の
線型空間であることが知れているので、今回は y = (y0)g に行く手前で
y = Ax + Bx^(1/3), (A,Bは定数) と解るのでした。

お礼

初心者の私でも大変分かりやすい解説です。
本当にありがとうございます！！
こういうときにベストアンサーを選べるのは本当に難しいです。
本当はalice_44さんとKnotopologさんの両方に差し上げたいのです。

回答No.1

nag0720

y=xz　と置いて、y'、y''を計算し、y''+ay'+by=0　に代入してみましょう。

お礼

ご解答、ありがとうございます。
y=xzとおくのはなぜでしょうか。
すみません、ばかな質問かもしれませんが、
微分方程式はまだまだ初心者なもので...