積の微分公式の証明と積分の計算について

質問

• 積の微分公式 (dfdg/dx) = (df/dx)g + f(dg/dx) について説明します。
• 右辺第３項を無視した場合の積分の計算についても試してみました。
• 質問１：右辺第３項を無視しても良いのでしょうか？質問２：積分の計算が合っているかどうか気になります。

回答No.7

ereserve67

ANo.5のお礼について

一つ訂正20行目以降ぐらいの

>d{f(x)g(x)}={df(x)/dx}g(x)+f(x){dg(x)/dx}

の左辺ははもちろんd{f(x)g(x)}/dxです．失礼しました．

さて，ご質問の

>「合成関数の微分公式の証明に納得できます。」とは
>例えば，y=(2x+3)^5の微分をするとき，u=2x+3として
>(du/dx)=2 (dy/du)=5u^4
>(dy/du)(du/dx)=(dy/dx)=10(2x+3)^4
>とする計算方法の説明のことでしょうか。

についてですが，それは合成関数の公式の適用例です．私はもっとおおもとの公式そのものの証明法について述べました．高校以下のレベルの教科書などでは

dy/dx=(dy/du)(du/dx)

という非常に分かりやすいイメージで解説していると思います．でも，duは0になることが理論的な可能性としてあります．例えばy=f(u),u=g(x)であるとしましょう．
dy/dxを考えるときは極限をとる約束からdx≠0としますが，このxの変動dxからくるuの変動

Δu=g(x+dx)-g(x)=g'(x)dx+o(dx)

の主要部du=g'(x)dxが0でないとは言い切れません．xによってはg'(x)=0でdu=0かもしれないのです．だから次のようにして証明します．

Δy=f(g(x+dx))-f(g(x))

=f(u+⊿u)-f(u)

=f(u)+f'(u)du+o(du)-f(u)

=f'(u)du+o(du)=f'(u)g'(x)dx+o(g'(x)dx)

=f'(u)g'(x)dx+g'(x)o(dx)

※g'(x)o(dx)はdxより高次の微小量なのでo(dx)と書いてよい．

dy=f'(u)g'(x)dx+o(dx)

これから主要部

dy=f'(u)g'(x)dx

をとりだせます．dx≠0なのでこれを

dy/dx=f'(u)g'(x)=(dy/du)(dx/du)

と書いてよいのです．これはg'(x)=0となり主要部du=g'(x)dx=0となっても通用する公式の証明法です．

要するにy=f(x)の導関数が存在することはある関数f'(x)があって

f(x+dx)=f(x)+f'(x)dx+o(dx)(dx→0)

が成り立つことというのをまず出発点にすると，

Δy=f(x+dx)-f(x)の主要部：dy=f'(x)dx

を定義でき，分数計算によって

dy/dx=f'(x)

となるわけです．

お礼

改めて御回答くださりありがとうございました。

　du=g'(x)dxが0でないとは言い切れません．xによってはg'(x)=0でdu=0かもしれないのです．だから次のようにして証明します。

　御指摘のとおり，ゼロでないとは言い切れないですね。そのための証明法まで示してくださり大変勉強になりました。お返事が遅くなって申し訳ありませんでした。