縦ベクトルと横ベクトルの違いを教えて下さい

質問

表記の仕方が違うだけだと思っていましたが、どうやらきちんと明確な違いがあるようですね。本を数冊読んでみましたが、どうも的を射ない解説しか載っていませんでしたので、どなたか知っているかた、解説お願いいたします。
回答お待ちしております。

回答No.6

muturajcp · ベストアンサー

固有ベクトルの場合は
正方行列Aの固有値λに対して
「Ax=λxを満足する縦ベクトルxを(縦)固有ベクトルという」
または
「xA=λxを満足する横ベクトルxを(横)固有ベクトルという」
のどちらかで定義され,縦横は通常省略されますが,
縦固有ベクトルの転置≠横固有ベクトル
なので表記の仕方が違うだけではなく明確な違いがあります。

A=
(0,1)
(4,0)
とすると

縦ベクトルx=
(1)
(2)
とすると
Ax=2xだから
xは固有値2に対する固有ベクトルだけれども
その転置横ベクトル
y=(1,2)
とすると
yA=(1,2)A=(8,1)≠(2,4)=2(1,2)=2yだから
yはAの固有ベクトルではありません

横ベクトル
x=(2,1)
とすると
xA=2xだから
xは固有値2に対する固有ベクトルだけれども
その転置縦ベクトルy=
(2)
(1)
とすると
Ay=
(1)
(8)
≠
(4)
(2)
=2yだから
yはAの固有ベクトルではありません。

n*n行列にn*1縦ベクトルは右側から乗ずる
n*n行列に1*n横ベクトルは左側から乗ずる
というように
演算順序が違うため非対称行列では
演算結果が異なりますので、
固有ベクトルを求めるときは
縦横どちらか注意が必要です。
http://okwave.jp/qa/q7458401.html
で
(3,1,1)
(0,1,2)
(0,0,-1)
の固有値λ=-1,1,3
固有ベクトル
λ=-1のときv1=(0,1,-1)
λ=1のときv1=(1,-2,0)
λ=3のときv1=(1,0,0)
と(実際には縦固有ベクトルを求めているのに)
横ベクトルにしているのは誤りです
(0,1,-1)(3,1, 1)=(0,1,3)≠(0,-1,0)=-(0,1,-1)
........(0,1, 2)
........(0,0,-1)
(1,-2,0)(3,1, 1)=(3,-1,-3)≠(3,0,0)=(1,-2,0)
........(0,1, 2)
........(0,0,-1)
(1,0,0)(3,1, 1)=(3,1,1)≠(3,0,0)=3(1,0,0)
.......(0,1, 2)
.......(0,0,-1)
横固有ベクトルは
λ=-1のときv1=(0,0,1)
λ=1のときv1=(0,1,1)
λ=3のときv1=(2,1,1)
となります

次のsite又は本では固有ベクトルは縦固有ベクトルを意味します。
Wikipedia
「数学小辞典 矢野健太郎著」

次の本では固有ベクトルは横固有ベクトルを意味します。

「代数学と幾何学 滝沢精二著」

お礼

固有ベクトルに関してはまだ勉強していないので、とりあえずそこまで勉強してみようと思います。
いままで分からなかったことが分かるようになるかもしれませんしね。
回答ありがとうございました。

回答No.5

alice_44

縦ベクトルと横ベクトルでは、行列の型が違います。
縦の n 次ベクトルは、n 行 1 列の行列、
横の n 次ベクトルは、1 行 n 列の行列です。
n 次横ベクトル u と n 次縦ベクトル v の間には、
値がスカラーになる行列積 uv が定義されます。
u と v の和は定義されません。
これを使って、例えば 3 次元空間内の平面を
ax=b と書き表すと、
位置ベクトルを縦ベクトル、係数を横ベクトルとして
扱ったことになります。

お礼

行列積など、行列が絡んできた場合は縦ベクトルと横ベクトルは区別しなければならないようですね。
回答ありがとうございました。

回答No.4

bitamin123456

皆さんの言っているとうりですが僕は縦であらわした方がミスが減ると思うので縦をオススメします！！

お礼

確かにベクトル同士の足し算、引き算、スカラー倍を考えるときには便利ですね。
参考にさせていただきます。
回答ありがとうございました。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

表記の方法の違いだけです。縦でも横でも完全に同じ式を作れますよ。

>きちんと明確な違い

って何か根拠があるのでしょうか？

ただ、行列まじりの式を作った場合、縦ベクトルを使った方が
連立方程式との対応が分かりやすいとか、行列を形式的にベクトルの
関数にみたてやすいとか多少便利なので、教科書では縦ベクトルを
主に使うことが多いと思います。

お礼

そうなのですか。
回答ありがとうございました。

回答No.2

ramayana

表記の違いだけです。文脈によって、便利な方を使えばよろしい。

お礼

そうなのですか。
参考にさせていただきます。
回答ありがとうございました。

回答No.1

aokii

http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/la2003/node1.html

お礼

回答ありがとうございました。
リンク先のサイトは、質問させていただく前に拝見させていただいたことがありましたが、私の知りたいことは載っていませんでした。