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級数の計算
スーパーコンピュータよりも遥かに高性能な計算機を考えます。 それによって、ほぼ無限の計算が可能と仮定します。 f(x)=Σ[n=1,∞]sin((2n-1)x)/(2n-1) という関数を定義すると、f(π)=0 となるのが分かります。 さて、上で挙げた計算機を使って、同じ結果が得られるでしょうか？ ただし、計算機には誤差が存在しますので、 |f(x)|<10^-10 などのように示せば十分とします。
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- jmh
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- ereserve67
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f(x)は （☆）(π/4)sgn(x)(-π<x<π)(sgn(x)はxの符号) を2π周期接続したものをフーリエ級数展開したものですね． 実際にこの無限級数f(x)の25項有限級数を普通のPCで描画(functionview)したら図のようになります．項数を増やすと連続点の部分がだんだん☆に近づき，不連続点のまわりのギブズ現象がよくわかります． f(π)=0は計算機でもsin(2n-1)π=0を利用するでしょうからほとんど誤差はないでしょうね．連続点での値例えばf(π/3)を10^{-10}の精度で計算させると（Mathematica) f(π/3)=0.7853981634≒π/4 となり，（この場合は）超スーパーコンピューターでなくとも十分な精度で計算できます．
お礼
πを記号として扱う能力を持たせれば、sin(2n-1)π=0 の計算は可能でしょうね。 ただし、それは人間が答を用意しているのと等しい行為かもしれません。 回答ありがとうございました。
- alice_44
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∀x,｜f(x)｜＜ 10の-10乗 などの ∀ を含む定理を証明するのは、 数値計算だけでは原理的に無理で、 何を計算すれば証明したことになるのかを 人間が解釈してやるか、または、 計算機のプログラムが、形式論理による証明を 実現するようなものでなくてはならない。 要は、計算速度の問題ではなく、プログラムの デキ次第だということ。
お礼
> 何を計算すれば証明したことになるのか > 形式論理による証明を実現 どちらも否定したつもりはないので、具体的に可能かどうかを述べてもらえますか？ 人間だって公理がなければ何も証明できないので、プログラムにも公理に相当する部分があっても良いと思いますよ。 回答ありがとうございました。
- Tacosan
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「ほぼ無限の計算」って, どれだけ?
お礼
どれだけと決めて答えが変わるとは思えないけど、では １０＾３０回の四則演算 と決めます。
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> これってホントは「何をするにしても十分な」高速度性能ってことですよね。 その解釈を否定するつもりはありません。 > その計算機は（誤差など出さないで）貴方のと"同一の"証明を吐き出せそうな気がします。 f(x)=π/4 や f(x)=-π/4 であることも誤差など出さないで証明してしまうかもしれません。 どれが正しいのか計算機が判断するためのルールをプログラムできるかが問題になるでしょうね。 ただし、sin((2n-1)π)=0 というルールは、あまりにもご都合主義的に感じられます。 πの定義とか、sin(x)の定義を元にして、計算機に証明して貰いたいものです。 回答ありがとうございました。