直流RLC回路の電流がステップ応答になる条件

質問

直流RLC回路の解法について質問させてください。

図IXのような回路で、時刻t=0でスイッチを閉じたところ、電流i(t)がステップ状電流となった。このときのR1,R2,L,Cの条件を求めよとの問題です。(コンデンサの初期電荷は0)

これは直感的にL→0,C→無限大だと思いますが、R1とR2にも何か条件がつきますか？

ラプラス変換を使って求めても、
1/(Ls+R1)+1/((1/CS)+R2)=1/R1+1/R2
となり、やはり同じ結果が出てきました。

単に問題にR1,R2も書いてあるなんでしょうか。
ご回答よろしくお願いします。

回答No.1

pc_knight · ベストアンサー

｛Ｌ＆Ｒ１｝および｛Ｃ＆Ｒ２｝のそれぞれの回路ついて電圧・電流の関係を示す微分方程式を解くと（微分方程式は、この電気回路の基礎の基礎なのでここでは省略）
Ｌの方に流れる電流は、
ｉｌ（ｔ）＝（Ｅ／Ｒ1）×（１－exp（－Ｒ1ｔ／Ｌ）・・・・（１）
Ｃの方に流れる電流は、
ｉｃ（ｔ）＝（Ｅ／Ｒ2）×　exp（－ｔ／ＣＲ2）・・・・・（２）
となる。

ｔ＝0では、ｉｌ＝0、ｉｃ＝Ｅ／Ｒ2　⇒　ｉ(t=0)＝ｉｌ＋ｉｃ＝Ｅ／Ｒ2・・・（３）
ｔ＝∞では、ｉｌ＝Ｅ／Ｒ1、ｉｃ＝0　⇒　ｉ(t=∞)＝ｉｌ＋ｉｃ＝Ｅ／Ｒ1・・・（４）

電流i(t)がステップ状電流であることから、（３）式＝（４）式
故に、Ｒ1＝Ｒ2　　・・・・（５）

Ｒ1＝Ｒ2から、（２）式のＲ２をＲ１に置き換えると
　ｉｃ（ｔ）＝（Ｅ／Ｒ1）×　exp（－ｔ／ＣＲ1）・・・・（２’）

（１）式と（２’）式のｅｘｐの指数部分が等しければ“－exp（－Ｒ1ｔ／Ｌ）”と
“exp（－ｔ／ＣＲ1）”は相殺しあい、i(t)はｔに依存しないステップ状電流となる。
それは、Ｒ1ｔ／Ｌ＝ｔ／ＣＲ1が成立することであるから、
ＣＲ1＾2＝Ｌ　　⇒　Ｒ１＝√（Ｌ／Ｃ）・・・・（６）
となる。

従ってステップ状電流になる条件は、（５）式と（６）式であるから
Ｒ１＝Ｒ２＝√（Ｌ／Ｃ）である

お礼

ありがとうございます。