ガンマ関数

質問

Γ(p+1)=pΓ(p)を証明する問題で
Γ(p+1)=∫[0→∞]x^p*e^(-x)dx=∫[0→∞]x^p*(-e^(-x))'dx
=[x^p*(-e^(-x))](0→∞)-∫[0→∞]px^(p-1)*(-e^(-x))dx
=0+p*∫[0→∞]x^(p-1)*e^(-x)dx=p*Γ(p)
の[x^p*(-e^(-x))](0→∞)が０になるのはどうしてですか？

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

p>0とします．

x^pe^(-x)=e^{plog(x)}e^{-x}=e^{plog(x)-x}

これがx→∞のとき0に収束することを示せばよいです．

plog(x)-x=-x(1-plog(x)/x)

においてロピタルの定理より

log(x)/x={log(x)}'/x'=1/x→0
∴plog(x)-x=-x(1-plog(x)/x)→-∞

よって

x^pe^(-x)=e^{plog(x)-x}→0

となります．

※一般にxが十分大きい時

log(x)≪[xの多項式]≪e^x

です．

お礼

いろいろありがとうございます
よく分かりました