数学のラプラス変換および逆ラプラス変換の問題です！

質問

数学のラプラス変換、および逆ラプラス変換の問題です！助けて下さい（＞＜；）

(6)関数f(x)=x^2のラプラス変換L(p)=∫[0,∞]e^(-px)・f(x)dxを求めよ。

(7)g(p)=p/(p+2)(p+3)の逆ラプラス変換
(1/2πi)∫[-i∞,+i∞]e^px・g(p)dpを求めよ。

以上の2問です。本当に困っています(；＿；)
途中計算などは出来る限り詳しく書いてもらえると助かります。

これでは読みにくいと思われるので問題の写真を貼っておきます。
http://book.geocities.jp/yukarin6127/l_henkan.htm
よろしくお願い致しますm(＿)m

回答No.3

reiman · ベストアンサー

書き間違いが有りました：g(p)→G(x)
ついでにより丁寧により詳しくより正確に修正します

G(x):g(p)の逆ラプラス変換
h(x):ヘビサイド関数

(1)0<xのとき
周回積分∫○dpは虚数実上を-∞・iから∞・iまでいき
左半円上を∞・iから-∞・iにいく周回積分

G(x)
=1/2/π/i・∫[-i・∞,+i・∞]dp・e^(p・x)・p/(p+2)/(p+3)
=1/2/π/i・∫○dp・e^(p・x)・p/(p+2)/(p+3)
=1/2/π/i・(2・π・i)・((-3)/(-3+2)・e^(-3・x)+(-2)/(-2+3)・e^(-2・x))
=3・e^(-3・x)-2・e^(-2・x)

(2)x<0のとき
周回積分∫○dpは虚数実上を-∞・iから∞・iまでいき
右半円上を∞・iから-∞・iにいく周回積分

G(x)
=-1/2/π/i・∫[-i・∞,+i・∞]dp・e^(p・x)・p/(p+2)/(p+3)
=-1/2/π/i・∫○dp・e^(p・x)・p/(p+2)/(p+3)
=0

e^(p・x)・p/(p+2)/(p+3)は右半平面上で正則なので周回積分は0になる

以上まとめて

-∞<x<∞でG(x)=(3・e^(-3・x)-2・e^(-2・x))・h(x)

お礼

大変詳しくありがとうございます！
助かりましたm(＿)m

回答No.4

info22_

#1です。

質問がありませんが自力解決したのでしょうか?

(1)
f(x)=x^2
には（x≧0）を付けるのを忘れてませんか？
ラプラス変換の式の積分範囲から
f(x)=x^2(x≧0), =0(x＜0)
と考えていいかと思う。
このf(x)に対してL(p)を求める。
L(p)=∫[0,∞]e^(-px)・x^2 dx
部分積分
=[(-1/p)e^(-px)・x^2]_[0,∞]-∫[0,∞](-1/p)e^(-px)・2x dx
=(2/p)∫[0,∞] e^(-px)・x dx
もう一度部分積分
=(2/p)[(-1/p)e^(-px)・x]_[0,∞]-(2/p)∫[0,∞](-1/p)e^(-px) dx
=(2/p^2)∫[0,∞] 1*e^(-px) dx 　←1のラプラス変換
=2/p^3

(2)
g(p)は通常G(p)と書きます。

部分分数展開
G(p)=p/((p+2)(p+3))=(3/(p+3))-(2/(p+2))
ラプラス変換の公式を逆に使って
g(x)=L^-1{L(p)}=3L^-1{1/(p+3)}-2L^-1{1/(p+2)}
=3e^(-3x) -2e^(-2x) (x≧0)

丸写しするのではなく、ちゃんと教科書や講義ノートや参考書でラプラス変換の
勉強をやり直してください。そうしないと先々あなたのためになりません。
=

回答No.2

reiman

今回は問題ないが部分分数がやりにくいほど複雑な場合は留数を使う

ジョルダンの補助定理より∫[-i・∞,+i・∞]dpは∫○dpになる
周回積分∫○dpは虚数実上を-∞・iから∞・iまでいき
左半円上を∞・iから-∞・iにいく周回積分

g(p)
=1/2/π/i・∫[-i・∞,+i・∞]dp・e^(p・x)・p/(p+2)/(p+3)
=1/2/π/i・∫○dp・e^(p・x)・p/(p+2)/(p+3)
=1/2/π/i・(2・π・i)・((-3)/(-3+2)・e^(-3・x)+(-2)/(-2+3)・e^(-2・x))
=3・e^(-3・x)-2・e^(-2・x)

式において3行から4行は留数を使った

回答No.1

info22_

連続して全て丸投げしてるね。

少しは自力でやって、わからない箇所だけ質問して下さい。
質問する場合は、自分でやった計算過程を補足に書いて、行き詰っている所をきいて下さい。

(6)
f(x)を代入して部分積分を繰り返せばL(p)は求まるからやってみて！

(7)
まともに複素積分しなくても
部分分数展開して、ラプラス変換の公式表を逆に使って逆変換を求めれば良いね。

質問する場合は、やった途中計算を書いて分からない箇所をきいて下さい。