数学 図形と方程式の問題について

質問

添付した図、見にくかったらすみません。
この図形の問題の答えに疑問があったので、回答よろしくお願いします。

質問の内容に問題文は必要ないとおもったので省略させていただきます。
図から分かると思いますが三角形OABは∠AOB＝90°の直角三角形です。
点A、Bの座標は分かっていて、点Pは不明なのでtでおいた座標となっています。

これから直線ABの方程式が求められます。

そして次にPQを点Pと直線ABの距離PQを点と直線の距離公式で求めると解答には書かれて
あります。
ここで疑問が生じました。　なぜPQ⊥直線ABを述べていないのに距離PQと言えるのか。

解答には今提示した文章の通りの流れで解説されていました。

ですが、私はPQを点Pと直線ABの距離を点と直線の距離公式で求める前にPQ⊥ABを
先に述べる必要があるのではないかと思いました。

点と直線の距離は、点から引いた、直線に対する垂線と直線の交点と点の距離ですよね？
ですから点から直線に引く垂線は直線と⊥に交わります。

だから距離PQを点と直線ABとの距離を点と直線の距離公式で求める前に、
PQ⊥直線ABを示す必要性があるのではないかと思うのですが・・・・・・

仮定として、直線AB上に点Q、B以外の点Rをとるとします。

もしPQ⊥直線ABを証明していなかったら、点Pと直線ABの距離を求めた時、その求めた距離
はPQであるとは定まらないと思います。もしかしたらPR⊥直線ABで距離はPRになるかもしれない。

円に内接する四角形OPQBで∠AOB＝90°が最初に分かっているので、
その対角は∠PQB＝90°になり、PQ⊥ABとなるのですが、この過程を述べずに
点Pと直線ABの距離をPQと言っていいのでしょうか？

回答No.2

ORUKA1951 · ベストアンサー

∠A(P)OBが直角なので、∠PQBは直角・・・言い換えれば、直角なニ直線の頂点が円上にあるとき、ひとつの交点を通る直線が円と交差するとき、他の点からその交点に引いた線は常に直角です。
　これは、円の中心点を通る線の円周角は90°であることを利用していますから、わざわざ底まで戻らなくても良いでしょう。
　図の点線が中心を通る直線です。

お礼

お礼が遅れてすみません。
図を使った丁寧な解答ありがとうございました。

そうですね、解答もわざわざ説明を底まで戻さなくても
いいという見解なのですね。

回答No.1

ferien

四角形OPQBは、円に内接する四角形なので、∠POB＋∠PQB＝180°が言えます。
∠POB＝90°だから、∠PQB＝90°
だから、PQ⊥AB　が言えます。
だから、
＞点Pと直線ABの距離をPQと言っていいのでしょうか？
言えると思います。

（質問文にすべて書かれている通りでいいと思います。）