高2の図形と方程式の問題

質問

平面上に2点A(-1,3),B(5,11)がある。
直線y=2xについて、点Aと対称な点Pの座標を求めよ。

という問題がわかりません。
解答いただけるとありがたいです。

回答No.6

ramusu08

点Pを(a,b)とします。
垂直条件で
a+1/b-3×2=-1
a+1/b-3=-1/2
a+1=-b+3/2
2a+2=-b+3
2a+b=1

直線PAの中点を(a-1/2,b+3/2)とします。
そして其れを直線y=2xに代入します。
b+3/2=2×a-1/2
b+3/2=a-1
b+3=2a-2
-2a+b=-5

連立方程式で
2b=-4
b=-2
bを代入し
2a-2=1
2a=3
a=3/2
依って、点P(-2,3/2)

計算間違っていたら申し訳御座いません。

回答No.5

info222_

>2点A(-1,3),B(5,11)がある。

点Bが使われていませんが、問題はあってますか？

点Pの座標を(a,b)とすると、
直線y=2xについて、点Aと対称な点Pの満たすべき必要十分条件は

次の２つの条件を満たすことである。
・直線APの傾き (b-3)/(a+1) とy=2x の傾き 2 の積が　－１であること　→　2(b-3)/(a+1)=-1 … (1)
・線分APの中点((a-1)/2, (b+3)/2) が直線y=2x上にあること　→　(b+3)/2=a-1 … (2)

(1) から　a+1+2b-6=0 →　a+2b=5 →　a=5-2b … (3)
(2) から　b+3=2a-2 →　b=2a-5 … (4)
(4) を(3) に代入　a=5-2(2a-5)=15-4a →　5a=15 → ∴ a=3
(4) に代入　b=2*3-5=1

(答)　P(3, 1)

回答No.4

yyssaa

＞グラフが正確に描けると簡単かも知れません。
計算は結構ややこしいです。
　点Pは点A(-1,3)を通りy=2xと直行する直線上にあるので、
この直線をy=(-1/2)x+cとおくと3=(-1/2)*(-1)+cから
5/2=c、y=(-1/2)x+5/2・・・・・(ア)となる。
両直線の交点は2x=(-1/2)x+5/2からx=1、y=2。
よって点Aと直線y=2xとの距離は√{(1+1)^2+(2-3)^2}=√5。
点Pは直線(ア)上で点(1,2)から点Aと反対側に√5だけ離れた
点であり、点P(s,(-1/2)s+5/2)とすると点Pと点(1,2)との
距離は√[(s-1)^2+{(-1/2)s+5/2-2}^2]=√[5{(s-1)/2}^2]=±√5{(s-1)/2}
これが√5であればよいので±{(s-1)/2}=1からs=3,-1。-1は点Aのx座標
だからs=3として(-1/2)s+5/2=(-3/2)+5/2=1。よってP(3,1)・・・答
　なお、点(x1,y1)と直線ax+by+c=0との距離Dの計算式
D=|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)を使った方が計算が楽かも知れません。

回答No.3

gohtraw

点Ｐの座標を（ｘ、ｙ）とすると、

直線ＡＰと直線ｙ＝２ｘが直交することから直線ＡＰの傾きは－１／２。
よって
（ｙ－３）／（ｘ＋１）＝－１／２

ＡＰの中点が直線ｙ＝２ｘ上にあるので
（ｙ＋３）／２＝２＊（ｘ－１）／２

この連立方程式を解いて下さい。