数学の問題の解説お願いします。

質問

2012 スタンダード 61

(1)2点(-1,4)、(2,3)から等距離にある、直線y=4x上の点の座標を求めよ。
(2)3つの直線4x-y+7=0、4x-5y-13=0、4x+3y-5=0が囲む三角形の重心の座標と面積を求めよ。

解答
(1)(2,8)
(2)座標…(-2/3,-1)　面積…16

解法を教えてください。
使う公式なども教えてくださるとありがたいです。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

(2)
4x-y+7=0 …… (1)
4x-5y-13=0 …… (2)
4x+3y-5=0 …… (3)

(1)-(2)より、4y+20=0
y=-5
(1)または(2)に代入してx=-3
直線(1)(2)の交点は(-3,-5)

(2)-(3)より、-8y-8=0
y=-1
(2)または(3)に代入してx=2
直線(2)(3)の交点は(2,-1)

(3)-(1)より、4y-12=0
y=3
(3)または(1)に代入してx=-1
直線(3)(1)の交点は(-1,3)

三角形の重心のx座標=(-3+2-1)/3=-2/3
三角形の重心のy座標=(-5-1+3)/3=-1

面積
(-3,-5)を原点(0,0)に移動させると、(2,-1)は(5,4)へ、(-1,3)は(2,8)へ、それぞれ移動する。
(0,0),(5,4),(2,8)を頂点とする三角形の面積
=|5・8-4・2|/2
=16

お礼

細かい説明本当に助かります(><)
ありがとうございました！

回答No.1

asuncion

とりあえず(1)
求める点の座標を(a,4a)とする。
(a,4a)と(-1,4)の距離の2乗
=(a+1)^2+(4a-4)^2
=17a^2-30a+17
(a,4a)と(2,3)の距離の2乗
=(a-2)^2+(4a-3)^2
=17a^2-28a+13
両者は等しいので、
-30a+17=-28a+13
a=2
∴求める点の座標は(2,8)

お礼

ありがとうございます！