日本数学オリンピック2000年予選問題の解答

質問

2000年の予選問題の解答がどこを探してもないので質問しました。

http://www.imojp.org/challenge/old/jmo10yq.htm

ちなみにここに問題があります。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

1.
円O2の直径の長さをxとすると
9/x=x/4
となるから
x^2=36
∴円O2の直径の長さは
x=6

2.
自然数n≧8を3の倍数でも5の倍数でもないとする
mod(n,5)=1のときn=5m+1=3*2+5(m-1),となる自然数mが存在する
mod(n,5)=2のときn=5m+2=3*4+5(m-2),m≧2となる整数mが存在する
mod(n,5)=3のときn=3*1+5m,となる自然数mが存在する
mod(n,5)=4のときn=5m+4=3*3+5(m-1),となる自然数mが存在する
∴自然数n≧8に対してn=3a+5b,a≧0,b≧0となる整数a,bが存在する
7=3a+5b
a≧0,b≧0となる整数a,bが存在するならば
b≦7/5
b=0又はb=1となるが
b=0のとき3a=7となる整数aは存在しない
b=1のとき3a=2となる整数aは存在しない
7=3a+5bとなる整数a≧0,b≧0は存在しない
∴3a+5b(a,bは非負整数)の形で表わせない自然数の最大値は
7

3.
平面上に点Oを通る直線lと,一辺の長さ1の正三角形OAB がある.
ただし,辺ABとlは交点を持たないとする.
頂点A,Bからlに下ろした垂線とlとの交点をそれぞれA',B'とする.
A=e^{it}
B=e^{i(t+π/3)}=(cost+isint)(1+i√3)/2
0≦t≦2π/3
A'=cost
B'=cos(t+π/3)=(cost-sint√3)/2
|A-A'|=|sint|
|B-B'|=|sint+cost√3|/2
|A-A'|+|B-B'|
=|sint|+|sint+cost√3|/2
=(3sint+cost√3)/2
=(√3)sin(t+π/6)
t=π/3のとき
|A-A'|+|B-B'|のとりうる最大値
√3

4.
一歩で1段,2段,または3段を登れる人が,7段の石段を登る.
1111111が1通り
111112が6通り
11113が5通り
11122が5C2=10通り
1123が4*3=12通り
1222が4通り
133が3通り
223が3通り
∴合計
44通りの登り方がある.

5.
1辺の長さ1の立方体ABCD-EFGH があり,
辺CDの中点をK,辺DHの中点をL,
辺EFの中点をM,辺FBの中点をNとする.
|KL|=1/√2
|KN|=√(3/2)
|LM|=√(3/2)
|MN|=1/√2
KL⊥KN
だから
□KLMNは長方形で面積は
|□KLMN|=(√3)/2
四角錐AKLMNの
底面積|□KLMN|=(√3)/2
高さ(√3)/2
だから
|AKLMN|=1/4
同様に
|GKLMN|=1/4
∴8面体A-KLMN-Gの体積は
|A-KLMN-G|=|AKLMN|+|GKLMN|=1/2

6.
nを自然数とする.有理数係数の2n次方程式
x^{2n}+Σ{k=1～2n}(a_k)x^{2n-k}=0
の解はすべて
x^2+5x+7=0
の解にもなっているとすると
(x^2+5x+7)^n=x^{2n}+Σ{k=1～2n}(a_k)x^{2n-k}
(x^2+5x+7)^n=x^{2n}+5nx^{2n-1}+…
だから
a_1=5n

7.
2以上の自然数nに対して
0≦x<x+y<y+z≦n
を満たす整数の組(x,y,z)の総数をSとすると
0≦x<z
→1≦z
0<y≦n-z
→1≦z≦n-1
だから
z=1～n-1に対して
xはx=0～z-1のz通り
yはy=1～n-zのn-z通り
あるから
S=Σ_{k=1～n-1}k(n-k)
∴
S=
n(n^2-1)/6

8.
40C20=40!/(20!20!)
=39*37*35*33*31*29*46*2
=(41-2)(41-4)(41-6)(41-8)(41-10)(41-12)(41+5)*2
=1(mod41)
∴40C20を41で割った余りは
1

9.
Σ_{k=1～100}([k^2/100]+[10√k])
=10+∫_{0～100}{(x^2/100)+(10√x)}dx
=
10010

10.
Σ_{m=1～999}Σ_{n=1～1000-m}1999!/{(2n-1)!(2m-1)!(2001-2n-2m)!}

11.
AD//BC,2∠ABC=2∠BDC=∠ACB, ∠ABC=2∠ABD=2∠CBD
∠ABD=t
とすると
tan(4t)/sin(2t)=1+tan(4t)/tan(3t)
2cos(2t)sin(3t)=sin(7t)
2{sin(3t)}^2=cos(6t)
{sin(3t)}^2=1/4
cos(6t)=1/2
6t=60°
∴
∠ABC=2t=20°

12.
(i)a1,a2,a3,…,a30は自然数1,2,3,…,30の並べ換えである.
(ii)mが2,3,5のそれぞれの場合,1≦n<n+m≦30となる任意のnに対して,
an+m-anはmで割り切れる.
を満たす数列は
2*3!*5!=2*6*120
=
1440通り