高校数学の問題です。解答をお願いします。

質問

高校数学の問題です。解答をお願いします。

2003年の大阪府大の入試問題です。

xに関する方程式{log1/10底（ax)}^2+(log1/10底x)+1/4=0 が解をもつとき、

すべての解が√１０ より大きくなるようにaの値の範囲を定めよ。

答えは 0<a<1/10 です。

解答の過程を教えて頂けたらうれしいです。

お願い致します。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

{log1/10(ax)}^2+{log1/10(x)}+1/4=0
{log1/10(a)+log1/10(x)}^2+{log1/10(x)}+1/4=0
{log1/10(x)}^2+{2log1/10(a)+1}log1/10(x)+1/4+{log1/10(a)}^2=0(ただしa>0,x>0)・・・※

ここでlog1/10(x)=Xとおく。
※の方程式が√10よりも大きな解を持つには、X<log1/10(√10)}の条件が必要。
これを解くとX<-1/2
よって※は
X^2+{2log1/10(a)+1}X+1/4+{log1/10(a)}^2=0（X<-1/2)となる。
この方程式が実数解を持つ条件は、
判別式Ｄ＝{2log1/10(a)+1}^2-4[1/4+{log1/10(a)}^2]≧0
整理すると4log1/10(a)≧0
　　よって0<a≦1・・・※1

f(x)=X^2+{2log1/10(a)+1}X+1/4+{log1/10(a)}^2とおくと、
x>-1/2で解を持つためには※1に加えて、
f(-1/2)>-1/2
軸x=-log1/10(a)-1/2<-1/2
を満たせばよい。

f(-1/2)=log1/10(a){(log1/10(a)-1}>0
log1/10(a)<0または1<log1/10(a)
a>1または0<a<1/10・・・※2

軸の条件より、log1/10(a)>0
0<a<1・・・※3

※1、※2、※3の共通部分をとり、
0<a<1/10・・・答え

途中計算を省きました。自分で補ってください。
対数の不等式はグラフを考えると簡単です。
y=log1/10(x)のグラフを用意しておくとすぐに不等式の解がわかります。

お礼

解りやすい解答ありがとうございました。

解答の過程が細かくて理解しやすかったです。

回答No.2

info22_

真数条件より x>0, ax>0, a>0 ...(1)
log[10]a=A, log[10]x=X とおくと
　log[1/10](ax)=log[10](ax)/log[10](1/10)=-log[10](ax)=-X-A
　log[1/10]x=-log[10]x=-X
なので
方程式は
　(X+A)^2 -X +(1/4)=0
　X^2 +(2A-1)X+A^2+(1/4)=0
解を持つ条件は
　判別式D=(2A-1)^2 -(4A^2 +1)=-4A≧0 ∴A=log[10]a≦0 ∴0<a<1 ...(2)
xのすべての解が√10 より大きくなる条件は
　X=log[10]x＞log[10]√10=1/2 ...(3)
となる条件なので
f(X)=X^2 +(2A-1)X+A^2+(1/4) とおくと
　f(1/2)=A^2 +A=A(A+1) (>0)　∴A<-1,A>0　...(4)
　軸X=-A+(1/2)>1/2 ∴A<0 ...(5)
(4)と(5)まとめると A=log[10]a<-1=log[10](1/10) ∴ 0<a<1/10 ...(6)

求める条件は　(1),(2),(6)より　0<a<1/10 ...(7) ←　答え

お礼

解りやすい解答ありがとうございました。

細かい計算過程が助かりました。