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二次方程式の解の範囲を求めよう！
- 二次方程式x^2-4ax+4=0の１つの解が２より大きく、他の解が２より小さいaの範囲を求めます。
- 解答によると、解の公式を用いて不等式を解くと、a>１となります。
- しかし、具体的な数字を代入しているのか、√の内部の計算が分からないのか不明です。解答の過程を知りたいです。
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この問題、関数f(x)を f(x)＝x^2-4ax+4 とおいて、f(2)＜０ から a＞１ を求めた方が簡単なのですが。 お手持ちの解答は複雑な解法が示されていますね。 それはともかく、ルートの中身は次のように計算します。 ＞√の(16a^2-16)内の計算がよくわからないです。 √(16a^2-16)＝√{16(a^2-1)}＝√16 √(a^2-1)＝４√(a^2-1) ＞また、2a+2√(a^2-1)>2 2a-2√(a^2-1)<2の式からa>1にいきつくまでに何か具体的な数字を代入したということでよろしいのでしょうか？ いいえ、式変形をしただけです。 2a+2√(a^2-1)＞2 ⇔√(a^2-1)＞1-a 平方根の中身は０以上でなければならないので、a^2-1≧０ また、等号成立時は解は重解になるので不適。 ∴ ａ＜－１、１＜ａ （１）ａ＜－１のとき、１－ａ＞０ だから √(a^2-1)＞1-a ⇒a^2-1＞(1-a)^2 ⇔a^2-1＞a^2-2a+1 ∴a＞１ しかし、これは（１）のａの範囲から外れ解として不適。 （２）１＜ａのとき、１－ａ＜０ だから √(a^2-1)＞1-a ⇒√(a^2-1)＞０ ∴ａ＞１ 以上から ａ＞１ という条件が得られます。 2a-2√(a^2-1)<2 についてはご自分でなさってみて下さい。
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- Mr_Holland
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＃１／＃２です。 お礼を拝見しました。今回も丁寧な言葉をありがとうございます。 ＞ｆ(2)=での式なんですが、ｆ(2)<0という定義のようなものが最初に出て来たのは、何故なんでしょうか？ これは定義というよりは、１つの解が２より小さく、もう1つの解が２より大きい ときの条件です。 これはｙ＝ｆ（ｘ）のグラフを描いてもらうしかないのですが、ｘ＾２の係数が正の場合、この２次関数のグラフは下に凸の形になります。そのとき、１つは２より小さい点でｘ軸と交わり、もう１つは２より大きい点でｘ軸と交わるように、下に凸の放物線を描くと、ｘ＝２のときの放物線はｘ軸より下になければならないことによります。（つまり、ｘ＝２のときｙ＝ｆ（ｘ）＜０ 則ち、ｆ（２）＜０ です。） この辺りのことはグラフを見れば一目瞭然なのですが、ぴったりなものが見つけられませんでしたので、「１解が負で、もう１解が正」となる条件について記述された下記サイトを参考にして頂ければと思います。 http://homepage3.nifty.com/fum_s/math1-5/math1-5-1.html （これの「例題３」を参照して下さい。 ｆ（０）＜０ という条件が導かれています。） ＞また、式に２を代入してからのｆ(2)はゼロになったということで8(1-a)＜０ の式になったと理解していいんでしょうか？ というよりも、上記のｆ（２）＜０ という条件から導いたものと理解して下さい。 途中の式変形も省略せずに書き出しますと次のようになります。 f(2)＜０ ∴2^2-4・2x+4＜０ ⇔8(1-a)＜０ ∴ａ＞１ なお、受験される試験に出題されるのか分かりませんが、「２次方程式の解の範囲」に関する問題では、今回のように「ある値を挟んで２解が存在する」ケースが最も簡単で、それ以外はグラフをイメージしないと解くことが難しいと思われます。 これ以上難しい問題が出ないようであればよいのですが、もしそうでないようでしたら、上に張っておきましたリンク先の内容を一通り学習しておいた方が良いように思います。 あと、２次関数のグラフの描き方については、良いサイトがありましたので、これを参考に学習されても良いかもしれません（本当は、教科書がベストですが）。 http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/2jikan1/2jikan1.htm 以上、参考になりましたら幸いです。 受験勉強、頑張って下さい。
お礼
回答ありがとうございます。 本当、手間をかけさせてしまい申し訳ないです。 Mr_Hollandさんの提示したリンク先のサイトを 拝見させていただいたのですが、少々理解が進んできました。 勝手な焦りもあるのかもしれませんが、 今まで参考書見てもあまり釈然としなかったです。 このサイト活用してもう少し理解に勤めます。 問題は…どうかわかりませんが、手持ちのここ４年の過去問を 見てる限り二次関数は毎年１、２問あるかないか程度でした。 ａの範囲問題、式から頂点の座標を記す問題、 放物線の対称移動した座標を記す問題、各座標から式を導く問題等です。 たぶん、２解が存在するケースレベルだとは思います。 本当に色々手取り足取り教えていただき、感謝してます。 とてもわかり易かったです。 ありがとうございました。
- Mr_Holland
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＃１です。 お礼をありがとうございます。 ＞１－ａ＞０ だから、１－ａ＜０ だから ＞と言ったことでの式の立て方の意味がいまいち理解できません。 ごめんなさい。 まず（２）の式変形を次のように訂正させて下さい。 ＞（２）１＜ａのとき、１－ａ＜０ だから ＞ √(a^2-1)＞1-a ＞ ⇒√(a^2-1)＞０ （正）⇒√(a^2-1)≧０ ⇒a^2≧１ ∴ａ≦－１ または １≦ａ ここで、場合分けの １＜ａ と重なるａの範囲は、１＜ａ なので、 ＞ ∴ａ＞１ ＞例えば、(１)の経過式では右辺は１－ａのままですが、（２）では０になっていたりといったことです。 ＞１－ａの値が、０より大きいから、０より小さいからで理解してよろしいんでしょうか？ その通りです。 （１）の場合では、√(a^2-1)＞1-a の不等式は 正＞正 なので、自乗しても大小関係が変わらず a^2-1＞(1-a)^2 を導いています。 他方、（２）では、√(a^2-1)＞1-a の不等式は、正＞負 なので、不等式としては成立が自明になります（ただ、左辺の平方根の中身が０または正でなければならないという条件だけが残ります）。そのため、回りくどい書き方ですが、⇒√(a^2-1)≧０ としました。 ＞■f(2)＜０ から a＞１ を求めた方が簡単 これの具体的な計算方法は、 f(x)＝x^2-4ax+4 ですから、これにｘ＝２を代入して行います。 f(2)＝2^2-4・2x+4＝8(1-a)＜０ ∴ａ＞１ なお、この考え方は、ｘ＾２の係数が正のとき、f(2)が負であれば、y＝f(x)のグラフは、必ずｘ＜２で１回だけｘ軸と交わり、ｘ＞２でも１回だけｘ軸と交わることを利用したものです。（図を描けば一目瞭然ですよね。） 解の判別式を使う必要もないので便利ですよ。 ＃ 別のご質問に対する小生の回答に丁寧なお礼を頂きました。この場を借りてお礼申し上げます。
お礼
大変、ありがとうございます。本当にとっても助かります。 Mr_Hollandさんの説明が丁寧で上手いので、本当にわかり易いです。 上の解の公式を使うやり方、どうにかマスターできそうです。 実はお恥ずかしいのですが、数学に対してほとんど無知で ２週間前から生まれて初めて、マジメに数１＋Ａをやってます。 因数分解や、不等式、確立、三角関数等々は できるようになってきて正答率もかなり上がりましたが、 二次関数については理解が遅く、特に進んでおりません。 知識はちょくちょく覚えていってるようにしてますが、 放物線のグラフを書けるだけの知識がまだ余りありません。 これからまた少し基礎固めるつもりです。 掲載した問題はとある教養試験の過去問題の一部で、本試験が近いです。 他にもしなければならない科目がある中で数学の範囲は 数１＋Ａの範囲で、７～８問と問題全体の１／６程度ありまして 少しでも拾えるところを拾うために今勉強してます。 たぶん全部基礎レベルだとは思いますが、なかなか悪戦苦闘です。 Ｆ＝の関数を理解した方が断然、早そうなんでそれどうにか マスターしようと思います。 勉強の基礎ちゃんと参考書で理解してから質問しろとか言われそうで 大変恐縮ながらも最後にお願いしたいのですが、 ｆ(2)=での式なんですが、 ｆ(2)<0という定義のようなものが最初に出て来たのは、 何故なんでしょうか？ １つは２以下、１つは２以上ですが、 何故、２以下だけの式を立て、２つ式をやらないで良いのでしょうか？ また、式に２を代入してからのｆ(2)はゼロになったということで 8(1-a)＜０ の式になったと理解していいんでしょうか？ 何度も低レベルなくだらない質問すいません。 たぶん、グラフの理解をしない限り難しいのかもしれませんが、 もしそうでないならば、理屈をお聞きしたいので もしよろしければ教えていただきたいです。
お礼
解答ありがとうございます。 釈然としないものが結構形が見えてきました。 ルートのカッコまとめも意味わかりました。 ところで関数の計算の解の結果は（ａ＞１の範囲から外れ～等） は答えと最初の文字式で意味がわかりますが、 １－ａ＞０ だから、１－ａ＜０ だから と言ったことでの式の立て方の意味がいまいち理解できません。 例えば、(１)の経過式では右辺は１－ａのままですが、 （２）では０になっていたりといったことです。 １－ａの値が、０より大きいから、 ０より小さいからで理解してよろしいんでしょうか？ ■f(2)＜０ から a＞１ を求めた方が簡単 とのことですが、具体的にどのように計算をすればよろしいのでしょうか？ 参考書等を見ながらやってみてもいまいち釈然としませんでした。 もし、よろしければお手数ですがお願いしたいです。