数学オリンピック予選の問題が解けない

質問

数学オリンピック予選に今度出ようと思っている者です。次の予選の過去問ですが、最初からどう考えればいいかがよくわからず解けません。どなたかわかりやすい解答解説をお願いしたいのですが。よろしくお願いします。

（問　題）
lをxy平面上の直線とする20×15個の点(m,n)(m=1,2…,20,n=1,2,…,15)の
うち少なくとも1つを通るlと平行な直線はちょうど222本存在した
（ただし,l自身もlと平行な直線とみなす）。このとき,これらの点の
うち少なくとも１つを通りlと垂直な直線は何本存在するか。

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

（例）
傾き 13/17 の直線群を考える。この直線群は
「(1,1)と(18,14)」「(2,1)と(19,14)」「(3,1)と(20,14)」
「(1,2)と(18,15)」「(2,2)と(19,15)」「(3,2)と(20,15)」
の6組の点の傾きとなるので、題意の直線は
20×15 - 3×2 = 296 本存在することになる。

300 - 222 = 78 より、上記の例のように「減る組」が78個存在すればよい。
ここで、積が78になる2つの正の整数の組み合わせは
1×78、2×39、3×26、6×13
であるが、「減る組」の数を求める経過から「(20未満)×(15未満)」の積に限られ、
6×13
の場合のみとなる。

(i) x方向に6組、y方向に13組のペアが現れるとき
20-6 = 14 , 15-13 = 2 より「傾き2/14の直線群」が考えられるが、この傾きは「1/7」と約分されるためさらに多くの「減る組」が現れる。
(ii) x方向に13組、y方向に6組のペアが現れるとき
20-13 = 7 , 15-6 = 9 より「傾き9/7の直線群」が考えられる。このとき
「(1,1)と(8,10)」「(2,1)と(9,10)」…「(13,1)と(20,10)」
：
「(1,6)と(8,15)」「(2,6)と(9,15)」…「(13,6)と(20,15)」
が同じ直線上にくるため、たしかに78個の「減る組」が現れる。

よってLの傾きは 9/7 であり、これと垂直な直線群の傾きは -7/9 である。
この直線群によって減る組は
「(10,1)と(1,8)」「(11,1)と(2,8)」…「(20,1)と(11,8)」
:
「(10,8)と(1,15)」「(11,8)と(2,15)」…「(20,8)と(11,15)」
より
(20-9)×(15-7) = 11×8 = 88 組なので
求める直線の本数は 20×15 - 11×8 = 212 本 … (答)

回答No.4

上野 尚人（@uenotakato）

回答No.3の者ですが、最後の部分を訂正します。
ーーーー
この直線群によって減る組は
「(10,1)と(1,8)」「(11,1)と(2,8)」…「(20,1)と(11,8)」
:
「(10,8)と(1,15)」「(11,8)と(2,15)」…「(20,8)と(11,15)」
となり、さらに
「(20,1)と(11,8)と(2,15)」「(19,1)と(10,8)と(1,15)」
という「3点が同一直線上にくる」ケースが2つ存在する。

2点のみ同一直線上にくるのは (20-9)×(15-7) - 2 = 11×8 - 2 = 86 組、
3点が同一直線上にくるのは 2組あるため
求める直線の本数は 20×15 - 86 - 4 = 210 本 … (答)

回答No.2

jcpmutura

傾きが
9/7
の直線を
l
とする

20×15=300個の点
{(m,n)}_{m=1～20,n=1～15}
の内

傾きが
9/7
の直線は
m=1～13
n=1～6
に対して
(m,n)
を通れば
(m+7,n+9)
も通るから
300-13*6=300-78=222本存在する

傾きが
9/7
の直線と垂直な直線の傾きは
-7/9
だから

傾きが
-7/9
の直線は
m=1～11
n=8～15
の時
(m,n)を通れば
(m+9,n-7)
を通り
m=1～2
n=15
の時さらに
(m+18,1)を通る
から
300-11*8-2
=300-88-2
=
210
本
存在する

回答No.1

myuki1232

この問題文からでは答えを導き出すことはできないように思えますが、問題文から何か抜けていませんか？
何年度のどこの問題でしょうか？