数学B 数列 センター向けの問題！解き方を教えて下さい

質問

• 数学Bのセンター向けの問題で、数列の定義や性質に関する問題です。具体的な数列の式や計算方法が与えられているので、それを使って各項や総和を求める問題です。解き方について詳しく解説します。
• 問題は、数列の定義や性質に関する内容であり、具体的な数列の式や計算方法が与えられています。問題文中に与えられた数列のxnとynの式を利用して、各項や総和を求める方法が求められています。詳しい解き方を解説します。
• 数学Bのセンター向けの問題で、数列の性質や計算方法に関する問題です。具体的な数列の式や条件が与えられており、それを利用して各項や総和を求める必要があります。解き方について詳しく解説します。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞数列{xn}は
＞ x1=5,x(n+1)=xn+2 (n=1,2,3,・・・)
＞ で定義された数列である。
＞ x2=7,x3=9
＞ であり、
＞ xn=2n+3
＞ である。
Σ[k=1→n]xk=n(n+4)　……(1)

＞次に、数列{yn}は
＞ y1=3,y(n+1)=yn+2n+3 (n=1,2,3,・・・)
＞ で定義された数列である。このとき
＞ yn=n^ア+イn
＞ Σ[k=1→n]yk=(1/6)n(n+ウ)(エn+オ)
＞ である。
y[n]－y[n-1]＝2(n-1)＋3
y[n-1]－y[n-2]＝2(n-2)＋3
　　………
ｙ[2]－y[1]＝2・1＋3
両辺同士加えて、
y[n]ーy[1]＝∑[k=1→n](2k＋3)より、y[n]＝y[1]＋∑[k=1→n](2k＋3)
Σ[k=1→n]yk=Σ[k=1→n](k^2＋2k)
よって、
＞ y[n]=n^ア+イn=n^2+2n
＞ Σ[k=1→n]yk=(1/6)n(n+ウ)(エn+オ)=(1/6)n(n+1)(2n+7)　……(2)

＞さらに、数列{zn}を
＞ x1,y1,y2,x1,x2,x3,y1,y2,y3,y4,・・・
＞ とし、この数列{zn}を
＞ x1|y1,y2|x1,x2,x3|y1,y2,y3,y4|・・・
＞ のように、１個、２個、３個、４個、・・・と区画に分ける。すなわち、l=1,2,3,・・・として
＞ 第(2l-1)区画にはx1,x2,x3,・・・,x(2l-1)
＞ の項があり、
＞ 第2l区画にはy1,y2,y3,・・・,y2l
＞ の項があるように区画に分ける。

＞このとき、z199は第カキ区間のク番目の項であるから
＞ z199=ケコ
＞ である。また
＞ Σ[k=200→240]zk=サシスセ
＞ である。
第m区間に、z199があるとすると、第1区間～第m区間までの個数は、
1＋2＋……＋m＝(1/2)m(m＋1)
とりあえず、(1/2)m(m＋1)＝199とおくと、m^2＋m－398＝0
m＞0より、m＝(-1＋3√177)/2　
13^2＝169＜177＜196＝14^2より、13＜√177＜14
38＜-1＋3√177＜41より、19＜m＜20.5
mは整数だから、m＝20より、z199は、第20区間にある。
第19区間の最後の項は、(1/2)・19・20＝190より、ｚ190
だから、第20区間の最初の項は、z191　だから、z199は、その9番目
よって、z199は、第20区間の9番目にある。　……カキ、ク
z199＝y9＝9^2＋2・9＝81＋18＝99　……ケコ

Σ[k=200→240]zk=
第19区間の最後の項は、z190
第20区間の最後の項は、(1/2)・20・21＝210より、z210
第21区間の最後の項は、(1/2)・21・22＝231より、z231
これから、
z200～z210は、第20区間の項で、z200＝y10～ｚ210＝y20
z211～z231は、第21区間の項で、z211＝x1～z231＝x21
z232～z240は、第22区間の項で、z232＝y1～z240＝y9
よって、z200＋……＋z240＝(x1＋……＋x21)＋(y1＋……＋y20)
(1)(2)より、
Σ[k=200→240]zk＝Σ[k=1→21]xk＋Σ[k=1→20]yk
=21(21＋4)＋(1/6)・20・21・(2・20＋7)
＝525＋3290
＝3815　……サシスセ

最初の2問は難しくないので、自分で解いてみてください。