三角関数を含む不等式 期末テストあります

質問

三角関数を含む不等式で＜と≦の使い方がわかりません。誰か教えてください。

例　　０≦θ<2πのとき次の方程式・不等式を求めよ。

(1)cosθ=-1/√2

(2)cosθ≦1/√2

と、問題がありますが問題の＝と≦の時の違い。この問題の不等式の解で≦と＜の使い方を教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.1

aries_1

(1)[゛="がついている時]
cosθの値が-1/√2になるθの値を求めるだけです。
ただし、求めるのは範囲(今回は0≦θ＜2π)内にあるθだけです。
つまり、11π/4や-3π/4等は「今回は」不可ということです。
(滅多にありませんが、もし範囲が0≦θ≦3πとなっていれば11π/4も答えに含めます)

解)cosθ=-1/√2を満たすθは
θ=3π/4,5π/4…(答)

(2)[不等号がついている時]
まず、(1)と同様に0≦θ＜2πの範囲内でcosθ=1/√2となるθの値を求めます。(θ=π/4,7π/4)

次に単位円(説明上、原点をO,点(1,0)をAとします)を書きます。
そして単位円の周上に、線分AOとなす角がπ/4(←第一象限にある)と7π/4(←第四象限にある)になる位置に点を打ちます。

ここでcosの定義より、その2点のx座標はどちらも1/√2(←cos(π/4),cos(7π/4)の具体的な値)になります。
なお、sinならy座標を表します。

以上を踏まえると、「cosθ≦1/√2となるθの範囲を求めよ」という問題は、「単位円の周上にある全ての点の中でx座標が1/√2より小さいのは、どの範囲にある点か求めよ」と言っているのと同じことです。

後は単位円とにらめっこして、条件を満たす範囲を求めるだけです。
それが出来れば、答えは
π/4≦θ≦7π/4
と出るはずです。

なお、゛≦"と゛＜"の違いですが、小学校で習う通りです。
cosθ≦1/√2となっていれば答えに゛≦"をつけ、cosθ＜1/√2となっていれば答えにも゛＜"をつけるだけです。

補足:(2)のように、不等号がついている時は範囲に注意する必要があります。
問題には、θがとり得る範囲(今回は、0≦θ＜2π)が既に与えられていますので、これを無視すると不正解になります。
また、tanθには「…,-π/2＜θ＜π/2,π/2＜θ＜3π/2,…」という縛りがあります。
(つまり、tanθ≠(奇数)π/2かつtanθ≠-(奇数)π/2)
(2)の問題は、たまたま考えなくてもよかったのですが、下の例題の場合などは注意が必要です。

例題:「0≦θ＜2π」のとき、cosθ≧1/√2を解け
答)
0≦θ≦π/4
7π/4≦θ＜2π
(↑「」の中の条件より、7π/4≦θ≦2πは×)

長文、失礼しました。
分かりにくかったらすみませんm(__)m