空間ベクトルの問題について・・・

質問

どなたか解法を教えて下さい！

「一辺の長さが２の正四面体OABCにおいて、変OA上に点Pをとり、内積OA・PB=1とする。更に、辺PB上の点Qを、PBとCQが垂直になるようにとる。

このとき、PB：PQを求めよ。」

という問題です。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

簡単な図を描いてください。
（以下、ベクトル記号を省略します）
点Ｏを基点として、すべてのベクトルをＯＡ，ＯＢ，ＯＣを使って表してみます。

点Ｑは辺ＰＢの内分点であるので、実数ｔを用いてＰＱ：ＱＢ＝ｔ：1-ｔとおくと、
ＯＱ＝（1-ｔ）ＯＰ+ｔＯＢ・・・※1
とかける。

ここで、点Ｐは辺ＯＡ上の点だから実数ｋを用いてＯＰ＝ｋＯＡと表せる。

（先にｋを求めてしまいます）
内積ＯＡ・ＰＢ＝1より、
ＯＡ・（ＯＢ-ＯＰ）＝1
ＯＡ・ＯＢ-ＯＡ・ＯＰ＝1
ＯＡ・ＯＢ-ｋ｜ＯＡ｜＾2＝1・・・※2

------------
ここで、仮定より
｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜＝｜ＯＣ｜＝2
ＯＡ・ＯＢ＝ＯＢ・ＯＣ＝ＯＣ・ＯＡ＝2*2cos60°＝2
-------------

これらの関係を使うと、※2は
2-4ｋ＝1となり、ｋ＝1/4

∴ＯＰ＝1/4ＯＡ

これを※1に代入すると、
ＯＱ＝（1-ｔ）/4ＯＡ+ｔＯＢ

ＰＢとＣＱが垂直であるから、ＰＢ・ＣＱ＝1が成り立つ。
ＰＢ＝ＯＢ-ＯＰ＝-1/4ＯＡ+ＯＢ
ＣＱ＝ＯＱ-ＯＣ＝（1-ｔ）/4ＯＡ+ｔＯＢ-ＯＣ
であるから、
ＰＱ・ＣＱ＝（-1/4ＯＡ+ＯＢ）・｛（1-ｔ）/4ＯＡ+ｔＯＢ-ＯＣ｝
　　　　　＝（ｔ-1）/4-ｔ/2+1/2+（1-ｔ）/2+4ｔ-2
　　　　　＝0
これを解くとｔ＝5/13

よって、ＰＱ：ＱＢ＝5/13：8/13＝5：8
ゆえに、ＰＢ：ＰＱ＝13：5

お礼

ありがとうございました