次の複素数の極形式を求めよ。

質問

次の複素数の極形式を求めよ。
１）。　｛（√３－i）/２｝＾５０
２）。　３i
３）。　（１＋i）＾１００
４）。　（１＋i/√３）＾ｎ　＋　（１-i/√３）＾ｎ　　　（ｎ∈N）

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.6

Peechyan

ノートをスキャンしたのをアップしたのですが、どうにも見にくいので、文字で打ったものを再度出します。ご参考になれば幸いです。

１）。　｛（√３－ｉ）/２｝＾５０
Ｚ1=(√3)/2 – 1/2*ｉ とおく。
Ｚ1の絶対値 r1=| Ｚ1|=√{[(√3)/2]}^2 + [– 1/2]^2} = |1|=1である。
よって、Ｚ1=(√3)/2 – 1/2*ｉ = 1*{(√3)/2 – 1/2*ｉ }となる。
-π<θ1(偏角1) =<πとおくと、
1*cosθ1=(√3)/2よりcosθ1=(√3)/2 --- (1)
1*sinθ1=-1/2よりsinθ1=-1/2　となる。--- (2)
(1)と(2)を同時に満たすθ1は-1/6*πであるから、θ1=arg Ｚ1=-1/6*πとなる。
よって、Ｚ1=(√3)/2 – 1/2*ｉ = 1*(cos[-1/6π]+ i*sin[-1/6π])である。
ここで、{(√3)/2 – 1/2* ｉ}^50= Ｚ1^50であるから、ド・モアブルの定理を使うと、
=1^50*{ cos[-1/6π*50]+ｉ*sin[-1/6π*50]}
-50/6π= -8π-2/6π=(-2π)*4-1/3πであるから、-π<θ=<πの範囲に直すと、
=1*{ cos[-π/3]+ｉ*sin[-π/3]}となる。
よって、{(√3–ｉ)/2}^50を極形式で表すと、1*{ cos[-π/3]+ｉ*sin[-π/3]}である。
なお、これをオイラーの公式を使って更に簡単にすると
1*{ cos[-π/3]+ｉ*sin[-π/3]}=1*e^ｉ*(-π/3)= e^-ｉπ/3となる。

２）。　３ｉ
3ｉ = 0+3ｉ = Ｚ2とおく。Ｚ2の絶対値 r2=| Ｚ2|=√(0^2 + 3^2)= √(0+9)=|3|=3
よって、Ｚ2=0+3ｉ = 3(0+1*ｉ)となる。
-π<θ2(偏角2) =<πとおくと、
cosθ2 = 0 --- (1), sinθ2 = 1--- (2) となる。
(1)と(2)を同時に満たすθ2はπ/2であるから、θ2=arg Ｚ2=π/2となる。
よって、3ｉを極形式で表すと、3ｉ=3*(cosπ/2+ｉsinπ/2)となる。
なお、これをオイラーの公式を使って更に簡単にすると、
3*(cosπ/2+ｉsinπ/2)=3e^ｉπ/2となる。

３）。　（１＋ｉ）＾１００
Ｚ3=1+ｉ=1+1*ｉとおく。
Ｚ3の絶対値ｒ3=| Ｚ3|=√(1^2 + 1^2)= √2
√2 * cosθ3 = 1--- (1), √2 * sinθ3 = 1--- (2) となる。
-π<θ3(偏角3) =<πとおくと、
(1)と(2)を同時に満たすθ3はπ/4であるから、θ3=arg Ｚ3=π/4となる。
よって、Ｚ3=1+1*ｉ=√2(1/√2 + ｉ*1/√2)= √2(cosπ/4+ｉsinπ/4)となる。
(１＋ｉ)^100= (Ｚ3)^100であるから、ド・モアブルの定理を使うと、
(√2)^100{ cos[π/4*100]+ｉsin[π/4*100]} =2^50{ cos25π+ｉsin25π}
25π=2π*12+π=πであるから、-π<θ=<πの範囲に直すと、2^50{ cosπ+ｉsinπ}。
よって、(1+ｉ)^100を極形式で表すと、2^50{ cosπ+ｉsinπ}になる。
なお、これをオイラーの公式を使って更に簡単にすると、2^50*e^ｉπとなる。

４）。　（１＋ｉ/√３）＾ｎ　＋　（１-ｉ/√３）＾ｎ　　　（ｎ∈N）
[1] Ｚ4=1+ｉ/√3 = 1+(1/√3)*ｉとおく。
Ｚ4の絶対値ｒ4=| Ｚ4|=√{1^2+(1/√3)^2}=2/√3
-π<θ4(偏角4) =<πとおくと、
2/√3* cosθ4 = 1　よってcosθ4=√3/2 --- (a)
2/√3* sinθ4 = 1/√3よってsinθ4=1/2 --- (b) となる。
(a)と(b)を同時に満たすθ4はπ/6であるから、θ4=arg Ｚ4=π/6となる。
すなわち、Ｚ4=2/√3*(cosπ/6+ｉsinπ/6) --- (1)

[2] Ｚ5=1-ｉ/√3 = 1-(1/√3)*ｉとおく。
Ｚ5の絶対値ｒ5=| Ｚ5|=√{1^2+(-1/√3)^2}=2/√3
-π<θ5(偏角5) =<πとおくと、
2/√3* cosθ5 = 1　よってcosθ5=(√3)/2 --- (c)
2/√3* sinθ5 = -1/√3よってsinθ5=-1/2 --- (d) となる。
(c)と(d)を同時に満たすθ5は-π/6であるから、θ5=arg Ｚ5=-π/6となる。
すなわち、Ｚ5=2/√3*(cos[-π/6]+ｉsin[-π/6]) --- (2)

[3] (1), (2)より(1+ｉ/√3)^n+(1-ｉ/√3)^n=(Ｚ4)^n+(Ｚ5)^n　
ド・モアブルの定理を使うと、
=(2/√3)^n{ cos[(π/6)*n]+isin[(π/6)*n] } + (2/√3)^n{ cos[(-π/6)*n]+ｉsin[(-π/6)*n]} --(3)

=[(2√3)/3]^n{ cos[(π/6)*n]+ cos[(-π/6)*n] + ｉ[sin{(π/6)*n} + sin{(-π/6)*n}] }
=[(2√3)/3]^n{ cos[(π/6)*n]+ cos[(π/6)*n] + ｉ[sin{(π/6)*n} - sin{(π/6)*n}] }
=[(2√3)/3]^n{ 2cos(nπ/6)+ｉ*0}=[(2√3)/3]^n*2cos(nπ/6)
よって、(1+ｉ/√3)^n+(1-ｉ/√3)^nを極形式で表すと、[(2√3)/3]^n*2cos(nπ/6)となる。

もしくは、(3)の状態から、オイラーの公式を使って簡単にすると、
=[(2√3)/3]^n(e^ｉ nπ/6+e^-nπ/6)= [(2√3)/3]^n * e^ｉ* (e^nπ/6+e^-nπ/6)
よって、(1+ｉ/√3)^n+(1-ｉ/√3)^nを極形式で表すと、
[(2√3)/3]^n * e^ｉ* (e^nπ/6+e^-nπ/6)となる。

お礼

ありがとうございました。大変参考になりました。
また宜しくお願い致します。