1次元複素多様体は何故リーマン面?

質問

よろしくお願い致します。

Xが複素atlasAのリーマン面とはXがAに於ける1次元複素多様体となっている時なのだそうです。

XはAに於けるn次元複素多様体　
⇔
(i)XはAに於けるn次元複素位相多様体,
(ii)∀(U,V)∈{(U,V)∈T^2;U∩V≠φ}に対して,
∃f,g∈A;U=dom(f),V=dom(g)且つMap(g(U∩V),f(U∩V))∋fg^-1はbiholomorphic

という定義を突き止めました。
で、f(z)=√zが2葉のリーマン面を使用して表される事は
知っていて,これが実際に1次元複素多様体を成している事を理解したいのですが

f(z)=√zでのリーマン面(1次元複素多様体)にてXはC∪C(複素平面)になろうかと推測したのですがこれではC∪C=Cとなってしまい,1葉になってしまうので間違いと思います。
あと,f(z)=√zでの複素atlasは具体的にどのような同相写像の族となるのでしょうか?

ttp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1011365205
で取り合えずイメージは分かりました。

XはC_1∪C_2 (C_1=CとC_2=Cだが異なる複素平面),f:C_1∪C_2→Cとなるのかと思います。この場合,C_1∪C_2に於けるatlasAは何と書けますでしょうか?

回答No.1

kabaokaba

あー・・・定義が錯綜してますよ

まず，複素多様体の定義はそれでOK
そして，一次元複素多様体のことをリーマン面ということが多いです．

一方，話がややこしいことに
log(z)とかz^{1/2}のような多価関数にでてくるあの「面」も
リーマン面というわけですが，
こっちのほうが定義がちょっと曖昧ですな．

まず，f(z)=z^{1/2}の「定義域」を表す，Cから原点を除いて
二枚の複素平面を「重ねた」あの図形を絵に描いてみてください．
数式にするのは後回し．
イメージがやっかいなら解析接続するときによくでてくる
円板が連なるようあのイメージを考えてください．
あの円板の一つ一つが局所座標系です．座標はまあ，
ほとんど平行移動みたいなものでいいでしょう．
で，位相がずれるあたり（一枚目の複素平面から二枚目，二枚目から一枚目にうつるあたり）は
例えば，偏角を2πで割った余りを考えるくらいでずらすして座標を考えるといいです
＃イメージとしてはトーラスの局所座標系を考えるのに似ている

こんな風に考えると，
「多価関数のリーマン面」が「一次元複素多様体」であることはほとんど自明です．
こつは「大きな局所座標」を考えるのではなく，
「小さな局所座標とその座標変換」を考えることです．

ちなみに，「z^{1/2}のリーマン面」はCでもC∪Cでもないですよ．
Cを二重に被覆してる空間，まんまの名前ですけど「被覆空間」ってやつです

お礼

申し訳ありません。一生懸命想像したりしているのですがなかなか。。

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Riemann_sqrt.jpg

のような感じですよね。

取り合えず,XはC∪CではなくC＼{0}となるのでしょうか?
それとf(z)=√zでの複素atlasは具体的にどのような同相写像の族となるのか教えていただく事は可能でございましょうか?