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次の関数論の問題の解答解説をお願いします。
全領域で正則な関数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)について(z=x+iyでx,y,u(x,y),v(x,y)は実数である), 1.z平面上の任意の閉曲線Cに沿ってのf(z)の1周積分は常に0になることを証明せよ。 2.z平面上の任意の点Aから点Bまでのf(z)の複素積分が積分経路に依存しないことを証明せよ。
- sironekoudon
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1.コーシーの積分定理 単純閉曲線Cに囲まれる領域をDとすると ∫_{C}f(z)dz =∫_{C}{u(x,y)+iv(x,y)}(dx+idy) =∫_{C}(udx-vdy)+i∫_{C}(udy+vdx) ↓グリーンの定理から =-∬_{D}(v_x+u_y)dxdy+i∬_{D}(u_x-v_y)dxdy ↓f(z)が正則だからコーシーリーマンの関係式から ↓u_x=v_y ↓v_x=-u_y ↓だから =0 ∴ z平面上の任意の閉曲線Cに沿ってのf(z)の1周積分は常に0になる 2. 図のように z平面上の任意の点Aから点Bまでのf(z)の積分経路をC_1,C_2として f(z)を 点AからC_1の経路で点Bまで積分し 点BからC_2の逆(-C_2)の経路で点Aまで積分する 経路をCとすると(1.コーシーの積分定理)から ∫_{C}f(z)dz=0 ところが ∫_{C}f(z)dz=∫_{C_1}f(z)dz-∫_{C_2}f(z)dz だから ∫_{C_1}f(z)dz=∫_{C_2}f(z)dz ∴ z平面上の任意の点Aから点Bまでのf(z)の複素積分が積分経路に依存しない
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分かりやすくありがとうございました