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数学問題
どなたか答案の作成お願いします。 D を複素平面上の単連結な開集合とする. 複素関数f(z) はD 上で正則であり, D 上で零点を有しない とする. D 上の一点z0 においてargf(z0) を定めることにより, 関数u(x; y) = argf(z) をD 上の連続 関数として定めることができる. ここに, x; y は, それぞれz の実部, 虚部である. このとき, u(x; y) は D において調和関数であることを示せ.
- kyoudaisei
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z≠0 u(x;y)=argf(z) とすると |z|^2=x^2+y^2≠0 だから cos(u)=x/√(x^2+y^2)…(1) sin(u)=y/√(x^2+y^2)…(2) だから (2)の両辺をxで偏微分すると cos(u)u_x=2xy(-1/2)(x^2+y^2)^{-3/2} cos(u)u_x=-xy(x^2+y^2)^{-3/2} これに(1)を代入すると xu_x/√(x^2+y^2)=-xy(x^2+y^2)^{-3/2} の両辺に{√(x^2+y^2)}/xをかけると u_x=-y/(x^2+y^2) の両辺をxで偏微分すると u_xx=2xy/(x^2+y^2)^2…(3) (1)の両辺をyで偏微分すると -sin(u)u_y=2xy(-1/2)(x^2+y^2)^{-3/2} -sin(u)u_y=-xy(x^2+y^2)^{-3/2} これに(2)を代入すると -yu_y/√(x^2+y^2)=-xy(x^2+y^2)^{-3/2} の両辺に{-√(x^2+y^2)}/yをかけると u_y=x/(x^2+y^2) の両辺をyで偏微分すると u_yy=-2xy/(x^2+y^2)^2 (3)にこれを加えると u_xx+u_yy=2xy/(x^2+y^2)^2-2xy/(x^2+y^2)^2=0 ∴ u_xx+u_yy=0 ∴uは調和関数である
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