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リーマン面の問題です。

リーマン面の問題です。 連続関数 f:C^2-(x≠0) → C ; (a,b) → b/a は C^2全体からP^1への連続写像に延長できるか。 答えは出来ないみたいなのですが、 どうしてできないのか分からなくて困っています。

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  • muturajcp
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回答No.2

R=(全実数),C=(全複素数) (r,a)∈R×C-{(0,0)}に対して [r,a]={(tr,ta)|t∈R-{0}}とすると ∀t∈R-{0}→[r,a]=[tr,ta]となる P={[r,a]|(r,a)∈R×C-(0)}と射影空間Pを定義すると j:C→P,j(a)=[1,a],jは単射となるから 複素数aと[1,a]を同一視しa=[1,a],C⊂Pとする f:((C^2)-({0}×C))→C; f(a,b)=b/a を f:C^2→P へ拡張したとすると ∀n∈N=(全自然数) に対して(iは虚数単位とすると) f(-i/n,1)=ni=[1,ni]=[1/n,i] f(1/n,1)=n=[1,n]=[1/n,1] だから lim_{n→∞}(-i/n,1)=(0,1)=lim_{n→∞}(1/n,1) lim_{n→∞}f(-i/n,1)=[0,i]≠[0,1]=lim_{n→∞}f(1/n,1) fは(0,1)で不連続となるから 連続写像に延長できない

その他の回答 (1)

回答No.1

まず、定義を正確に書きましょう。 (x≠0)ってどういうことですか? fはCへの写像なのに、P^1へ「延長」とはどういいうことですか?

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