微積の問題です。

質問

微積の問題です。考えても分かりませんでした。答えを教えてください。

２つの実数a,bに対して、aとbのうち大きい方をmax{a,b}と表す。（もちろんa=bのときは、その値自身を意味する。）
２つの関数f(x),g(x)に対して、
　　　　　　　h(x)=max{f(x),g(x)}
と定義するとき、f(x)とg(x)が連続関数ならばh(x)も連続関数であることを示せ。

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

区間内の任意の点について、 f(x) ≠ g(x) の場合と、f(x) = g(x) の場合にわけて連続性を調べれば良いかと思います。

といいつつ、h(x0) で不連続だと仮定すると、h(x0) の任意の近傍に必ず、h(x) ≠ f(x) となる点と、h(x) ≠ g(x) となる点の両方が存在することになり、中間値の定理を適用すると、さらに、h(x) = f(x) = g(x) となる点も必ず存在することが言える。
（ここまでは何とかやってみた）

このことから、実は、h(x0) = f(x0) = g(x0) が言えて、だから、x0 で不連続なのは矛盾――とやってみようとしたのだけど、最後の詰めがうまくいかなくて挫折しました。

回答No.1

Tacosan

「考えても分かりませんでした」ということですが, 「どのように考えてどこで困ったのか」を書いてみる気はありませんか?