数学の微積の問題が分からないので教えてください。

質問

数学の微積の問題が全然わからなく困っています。
どなたか助けてくださるとありがたいです。
どの問題でも構いません。よろしくお願いします。

【問】(1)f(x)=(x+1)e^-x のn次導関数を求めよ。
(2)f(x)の有限マクローリン展開を求めよ。ただし、剰余項も求めること。

【問】Tan^-1x=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+o(x^4) (x→0) と置くとき、
a0,a1,a2,a3,a4の値を求めよ。

【問】 lim(x→0)(sinx/x)^(1/x^2) を求めよ。

回答No.1

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【問】
(1)f(x)=(x+1)e^(-x)=e^(-x)+xe^(-x)
f'(x)=-e^(-x)+e^(-x)-xe^(-x)=-xe^(-x)
f''(x)=-e^(-x)+xe^(-x)=(x-1)e^(-x)
f'''(x)=e^(-x)+e^(-x)-xe^(-x)=-(x-2)e^(-x)
f''''(x)=f^(4)(x)=-2e^(-x)-e^(-x)+xe^(-1)=(x-3)e^(-x)
f^(5)(x)=3e^(-x)+e^(-x)-xe^(-x)=-(x-4)e^(-x)
…
f^(n)(x)={(-1)^n}{x-(n-1)}e^(-x) (nは1以上の正整数)

(2)
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2+ … +{f^(n-1)(0)/(n-1)!}x^(n-1) + Rn
=1-(1/2)x^2+(1/3)x^3- … +{(-1)^n}{(n-2)/(n-1)!}x^(n-1) + Rn
Rn={f^(n)(c)/n!}(x^n) (上式を満たすc が開区間 (a, x) 内に存在する)
（余剰項については参考URL参照）

2番目の【問】
Tan^-1x=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+o(x^4) (x→0)
a0=0, a1=1, a2=0, a3=-1/3, a4=0

3番目の【問】
lim(x→0)(sin(x)/x)^(1/x^2)= … =1/e^(1/6)

(ヒント：対数をとって考える)

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/テイラーの定理

お礼

素早い回答、ありがとうございます！助かりました。
ただ、2番目の問と3番目の問の途中式を教えていただけると、非常にありがたいのですが・・・可能ですか？

本当にありがとうございます！！