数学の問題です

質問

問１
lim[x→1] {(x^4)+(2x^3)-3}/(x-1)

問２
lim[x→0] {√(x+4) -2}/x

問３
関数f(x)の等式f(x)=sinx∫π,0(πから0)f(t)dtの時、f(x) =?

問４
曲線y=x(x-3)^2とx軸で囲まれた面積は？

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

問１
＞lim[x→1] {(x^4)+(2x^3)-3}/(x-1)
=lim[x→1]{x^3+3x^2+3x+3}=10・・・答
問２
＞lim[x→0] {√(x+4) -2}/x
lim[x→0]{√(x+4) -2}=0
lim[x→0]x=0だからロピタルの定理を使って
lim[x→0]{√(x+4) -2}/x
=lim[x→0]{√(x+4) -2}'/(x)'
=lim[x→0]{(1/2)(1/√(x+4)}=(1/2)(1/2)=1/4・・・答
問３
関数f(x)の等式f(x)=sinx∫π,0(πから0)f(t)dtの時、f(x) =?
∫f(x)=F(x)とすると∫π,0(πから0)f(t)dt=F(0)-F(π)だから
f(x)=sinx{F(0)-F(π)}
∫f(x)dx={F(0)-F(π)}∫sinxdx={-cosx+C(定数)}{F(0)-F(π)}=F(x)
F(0)={-cos0+C(定数)}{F(0)-F(π)}={-1+C(定数)}{F(0)-F(π)}
F(π)={-cosπ+C(定数)}{F(0)-F(π)}={1+C(定数)}{F(0)-F(π)}
辺々マイナスして
F(0)-F(π)={-1+C(定数)}{F(0)-F(π)}-{1+C(定数)}{F(0)-F(π)}
=-2{F(0)-F(π)}
3{F(0)-F(π)}=0
F(0)=F(π)
よってf(x)=0・・・答(間違いかもしれません)
問４
曲線y=x(x-3)^2とx軸で囲まれた面積は？
＞y=x(x-3)^2=x^3-6x^2+9x
y'=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-3)(x-1)
y'=0からx=1,3
y"=6x-12=6(x-2)
y"=0からx=2
よってyのグラフはx＜2で上に凸、x=2は変曲点、
2＜xで下に凸、x=1で極大(y=4)、x=3で極小(y=0)、
x=0でx軸と交差し、x=3でx軸に接する。よって、
曲線y=x(x-3)^2とx軸で囲まれた面積
=∫(x=0→3){x(x-3)^2}dx=∫(x=0→3){x^3-6x^2+9x}dx
=[(1/4)x^4-2x^3+(9/2)x^2](x=0→3)
=(81/4)-54+(81/2)=27/4・・・答

お礼

丁寧なご説明ありがとうございました！

回答No.1

shuu_01

問１
lim[x→1] {(x^4)+(2x^3)-3}/(x-1)

＝ lim[x→1] (x-1)(x^3 + 3x^2 + 3x + 3) / (x-1)

＝ lim[x→1] (x^3 + 3x^2 + 3x + 3)

＝ 10

問２
lim[x→0] {√(x+4) -2}/x

＝ lim[x→0] {√(x+4) -2}{√(x+4) +2}/x{√(x+4) +2}

＝ lim[x→0] {(x+4) -4} / x{√(x+4) +2}

＝ lim[x→0] 1 / {√(x+4) +2}

＝ 1/4

問３
関数f(x)の等式f(x)=sinx∫π,0(πから0)f(t)dtの時、f(x) =?

∫[π,0] f(t) dt　は定数なので、A とおくと、

f(x) ＝ A sin x

A ＝ ∫[π,0] f(t) dt
　＝ ∫[π,0] A sin t dt
　＝ [A（－ cos t）]（π,0）
　＝ －2A
Ａ＝0
f(x) ＝ 0、、、、、あれ、どっか間違っちゃいました
ごめんなさい

問４
曲線y=x(x-3)^2とx軸で囲まれた面積は？

面積＝∫[0,3]（ 0 － x(x-3)^2） dx
　　＝∫[0,3]（ －x^3 ＋ 6x^2 － 9x） dx
　　＝ [ーx^4/4 ＋ 2x^3－9x^2/2]（0,3）
　　＝ 27/4