次の数学の微積分の問題の解答を教えてください。

質問

関数f(x)=sin2xcos^2 x (0=<x<=π)のついて次の各問いに答えよ。
(1)f(x)の同関数をcosxを用いて表し、f(x)の最大値を求めよ。
(2)0<x<π/2における曲線y=f(x)の変曲点を(α,f(α))とする。
このとき、f(α)の値を求めよ。
(3)曲線y=f(x) (0=<x<=π)とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。

お願いします。

回答No.2

noname#232123

f'(x)=2sin(x)*(cos(x))^3.
Max. f(pi/6)=(3/8)√3.

変曲点は、(pi/2, 0)

f(pi/2+φ)=-f(pi/2-φ) ですから、グラフは(pi/2, 0) に関し対称です。
面積Sは合同な２つの部分を足し合わせて、
S=2*∫[0 to pi/2] f(x)dx=1.
となりました。

回答No.1

yyssaa

(1)f(x)の同関数をcosxを用いて表し、f(x)の最大値を求めよ。
＞同関数→導関数
f(x)=sin2xcos^2xをxで微分すると
f'(x)=2cos2xcos^2x-2sin2xcosxsinx
=2(cos^2x-sin^2x)cos^2x-2(2sinxcosx)cosxsinx
=2(cos^2x-sin^2x)cos^2x-4sinx^2cos^2x
=2cos^2x(cos^2x-3sin^2x)=2cos^2x{cos^2x-3(1-cos^2x)}
=2cos^2x(4cos^2x-3)=8cos^2x(cos^2x-3/4)
=8cos^2x(cosx+√3/2)(cosx-√3/2)
f'(x)=0となるのはcosx=0,±√3/2のとき
0≦x≦πではx=π/2,π/6,5π/6のとき
0＜x＜π/6でf'(x)＞0だからf(x)は増加
π/6＜x＜5π/6でf'(x)＜0だからf(x)は減少
5π/6＜x＜πでf'(x)＞0だからf(x)は増加
従ってf(x)はx=π/6で極大(最大)となるので、
f(x)の最大値=f(π/6)=sin(π/3)cos^2(π/6)
=(√3/2)*(√3/2)^2=3√3/8・・・答
(2)0<x<π/2における曲線y=f(x)の変曲点を(α,f(α))とする。
このとき、f(α)の値を求めよ。
f'(x)=8cos^2x(cosx+√3/2)(cosx-√3/2)をxで微分すると
f''(x)=-16cosxsinx(cosx+√3/2)(cosx-√3/2)
-8sinxcos^2x(cosx-√3/2)-8sinxcos^2x(cosx+√3/2)
=-32sinxcos^3x+12cosxsinx=[6-16*cos^2x]2sinxcos
=2(3-8cos^2x)sin2x
0＜x＜π/2ではsin2x＞0だからf''(x)=0となるのは
3-8cos^2x=0のとき。すなわちcosx=±√(3/8)から
0＜x＜π/2ではcosx＞0だからcosx=√(3/8)のとき。
0＜x＜π/2でsinx＞0だから
sin2x=2sinxcosx=2cosx√(1-cos^2x)
cosx=√(3/8)のときsin2x=2√(3/8)√(1-3/8)=√15/4
よってf(α)=(√15/4)(3/8)=3√15/32・・・答
(3)曲線y=f(x) (0=<x<=π)とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
＞0≦x≦πでf(x)=0となるのはf(x)=sin2xcos^2x=0から
cosx=0となるx=π/2のときとsin2x=0となるx=0,π/2,πだから
合わせてx=0,π/2,π。この条件と(1)の解の途中でのf(x)の増減より
f(x)は0＜x＜π/2でf(x)＞0、π/2＜x＜πでf(x)＜0となるので、
S=∫[0→π/2]f(x)dx-∫[π/2→π]f(x)dx
∫f(x)dx=∫sin2xcos^2xdx=2∫sinxcos^3xdx
cosx=tで変換するとsinxdx=-dtだから
∫f(x)dx=-2∫t^3dt=(-1/2)t^4+C(定数)=(-1/2)cos^4x+C(定数)だから
S=∫[0→π/2]f(x)dx-∫[π/2→π]f(x)dx
=(-1/2)cos^4x[0→π/2]+(1/2)cos^4x[π/2→π]
=(-1/2)cos^4(π/2)-(-1/2)cos^4(0)+(1/2)cos^4(π)-(1/2)cos^4(π/2)
=(1/2)+(1/2)=1・・・答