- ベストアンサー
リーマン積分
リーマン積分は与えられた閉区間で区分的に連続ならば積分可能とあったのですが、 例えば f(x)が x=1以外で{(x-1)^2}/(x-1)で x=1のときf(x)= 3 という関数のとき、 閉区間[0, 2]で リーマン積分をつかって積分することはできるのでしょうか? x=3で区分的に連続とはいえないのでリーマン積分不可能のようなきがするんですが・・・。
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (2)
- scale--free
- ベストアンサー率40% (24/60)
- yumisamisiidesu
- ベストアンサー率25% (59/236)
関連するQ&A
- たぶんリーマン積分に関する問題なんですけど
たぶんリーマン積分に関する問題なんですけど 閉区間I=[0,1]上の関数fを次で定める、f(x)={1(x=1/n(n:正整数)のとき)、0(それ以外) fのIにおける下積分は0であるが、実は上積分も0であって(不連続点が無限個あるにも関わらず)fはIで積分可能である。(ヒント:任意に与えられたε>0に対して、上からの見積もりS△εがε以下となるような分割△εを構成せよ) 急ですいませんが今日中か明日中にお願いします!!!
- 締切済み
- 数学・算数
- リーマン積分について
リーマン積分の積分可能性について悩んでいます。 自分の考えを整理したいので、以下の2つの質問に回答していただけると助かります。 (1)1/xは=0で不連続なのに、何故[0,1]で定積分可能なのですか? (2)f(x)が[a,b]で2乗可積分可能でも、f(x)が[a,b]のすべての点で連続とは限らない これは正しいですか?また具体的なf(x)にはどのようなものがありますか? どなたかご回答、解説をよろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 「ルベーグ積分」と「リーマン積分」
f(x)=sinx/xにおいて範囲が[0,∞)のとき、f(x)は広義ルベーグ積分であることはわかりますが、質問したいのは次のことです。f(x)は広義リーマン積分は可能だが、狭義でのルベーグ積分が可能でないのはどうしてですか?どなたか教えてくださいm(__)mお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学 積分
(1)F(x)が0≦x≦1で連続な関数である時、∫xF(sinx)dx=π/2∫F(sinx)dxが成立することを示し、 ∫xsinx/3+sinx^2・dxを求めよ。 積分区間はすべてπから0までです。 t=π-xと置くのか定石とか書いてありますが、なぜこういうことをするのですか? それと、成立することを示した後、なぜsinx/3+sinx^2をF(sinx)と置くのでしょうか? これはそうしないと解けないのですか? 詳しくお願いします。 (2)∫|1-√2-2sinΘ^2-2√3sinΘcosΘ| 積分区間πから0を求めよ。 絶対値の中を2cos(2Θ+3π)-√2にして、それで(2Θ+3π)をtとかおいて積分区間を7π/3, π/3まではわかるんですが、それから解説だと、9π/4からπ/4までを積分すればいいとなっていますが、なぜでしょうか? 周期関数はどこから区間を始めても、定積分の値は等しいとなっていますが、なぜですか? 周期関数とはsin,cosだけでで表されてるものだけをいうのでしょうか? それ以外に周期的な関数というのは存在するでしょうか? 解説お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (1/x)sin(1/x)のリーマン、ルベーグ積分
こんにちは。 早速ですが、上記の関数(1/x)sin(1/x)は[0,1]で広義リーマン積分可能だが、ルベーグ積分可能でないということを聞きました。 そこで、まず1、広義リーマン積分可能なこと 2、ルベーグ積分不可能なこと を示したいのですが、うまく示せません。 1については(1/x)sin(1/x)≦1/x としても右辺が可積分ではありませんし、困っています。 2については見当がつかない状態です。 どなたかご教授宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 積分可能ということは、この場合xを0~1と1~2にわけて考えるということなのでしょうか? その場合 f(1)= 3は無視していいのでしょうか?