部分集合の証明

質問

学校で出された課題です。
英語で数学の証明をするのですが、問題の意味も解答も分かりません。
日本語でも構わないので証明の方法を教えてください。

Show that the following sets of elements in R^2 form subspaces.
(1)The set of all (x,y) such that x-y=0.

Show that the following sets of elements in R^3 form subspaces.
(2)The sets of all (x,y,z) such that x+y+z=0.
(3)The sets of all (x,y,z) such that x=y and 2y=z.

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

>R^3のほうも同様にして解いて良いのでしょうか？
>(2)The sets of all (x,y,z) such that x+y+z=0.

これは 3 次元になっただけで、(1) と同様でしょう。

>(3)The sets of all (x,y,z) such that x=y and 2y=z.

2 平面の交線なので、問題 2 の論法をなぞっていけばできそう。

お礼

そうなんですか、わかりました
ありがとうございます＾＾

回答No.2

ShowMeHow

(1)　Example II: Let the field be R again, but now let the vector space be the Euclidean geometry R2. Take W to be the set of points (x,y) of R2 such that x = y. Then W is a subspace of R2.

Proof:

Let p = (p1,p2) and q = (q1,q2) be elements of W, that is, points in the plane such that p1 = p2 and q1 = q2. Then p + q = (p1+q1,p2+q2); since p1 = p2 and q1 = q2, then p1 + q1 = p2 + q2, so p + q is an element of W.
Let p = (p1,p2) be an element of W, that is, a point in the plane such that p1 = p2, and let c be a scalar in R. Then cp = (cp1,cp2); since p1 = p2, then cp1 = cp2, so cp is an element of W.

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_subspace

こういう証明問題ってのは、どのtheoremまで使ってよいかによって、どこまで書かなくちゃいけなくなるかが変わってくるんだよね。　教科書の該当箇所に類似問題（多分1次元）がのってると思うよ。

お礼

英語でありがとうございます
英語での証明はよくわからなっかたので助かります
ありがとうございます。

回答No.1

178-tall

(1) に関する一例。
参考 URL の
　例題
　問題1. i) 平面R2 の直線V : x + y = 0 は線形部分空間であることを示せ。

が参考になりませんか？　+, - の違いは本質的に無し。

>線形部分空間の定義にある３条件をチェック

がキーワードです。

「アホらしい」などと思わず、この論法に慣れるのが肝心。

参考URL：

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/K103.pdf

お礼

この問題の例題とほとんど同じですね
わかりやすくてよかったです
ありがとうございます

R^3のほうも同様にして解いて良いのでしょうか？